Un problème variationnel avec contraintes de degrés: lien avec les surfaces minimales immergées dans $\mathbb{R}^3$, bordées par deux cercles concentriques dans des plans parallèles

Orateur: Rémy RODIAC
Type: Séminaire de géométrie
Site: Hors LAMA , IMJ P7
Salle: 8029
Date de début: 12/01/2015 - 14:00
Date de fin: 12/01/2015 - 14:00

On cherche à trouver des points critiques de l'énergie de Dirichlet parmi les applications $u:A \rightarrow \mathbb{C}$ qui vérifient $|u|=1$ sur $\partial A$ où $A=\Omega \setminus \omega=\{z \in \mathbb{C} ; \rho < |z| < 1\}$ est un anneau de $\mathbb{R}^2$. On impose de plus les degrés topologiques de $u$ sur les bords de l'anneau : $deg(u,\partial \Omega)=p$ et $deg(u,\partial \omega)=q$. On peut voir que sous certaines conditions ce problème est équivalent à trouver des surfaces minimales dans $\mathbb{R}^3$ bordées par deux cercles dans des plans parallèles. En degré $1$, le théorème de Shiffman affirme qu'une telle surface est nécessairement une portion de Caténoide. En degré $2$ ou plus on peut montrer l'existence d'autres surfaces minimales ayant de telles propriétés et obtenues par bifurcation à partir du Caténoide. Ceci est un travail en collaboration avec Laurent Hauswirth.