Je parlerai d'un travail récent en collaboration avec Thierry De Pauw (Paris 7, Hors LAMA>>IMJ P7) et Vincent Millot (Paris 7, LJLL), dont la motivation principale est de comprendre comment la norme ambiante de l'espace influence la régularité des solutions d'un problème de type Plateau. A cette fin, on se restreint aux ensembles de dimension $1$ : plus précisément, les ensembles considérés sont des fermés connexes qui presque-minimisent localement la mesure de Hausdorff $\mathcal{H}^1,$ où l'excès de presque-minimalité est controlée par une fonction jauge $\xi(r)$ dans une boule de rayon $r$. Il est bien connu que ces ensembles sont $C^1$ $\mathcal{H}^1$-presque partout dans l'espace euclidien, sous réserve que la jauge satisfasse une condition de type Dini. Dans l'exposé je donnerai une condition sur la norme pour que ce résultat reste vrai dans un espace de Banach plus général.
