Un problème de Pólya

Orateur: BRU Bernard
Localisation: Université Paris 5, France
Type: Histoire et philosophie des mathématiques
Site: UPEM
Salle: 3B 075
Date de début: 19/03/2013 - 16:00
Date de fin: 19/03/2013 - 16:00

En 1912, Pólya a soutenu à Budapest une thèse consacrée à la résolution du problème suivant : dans l’espace à $n$ dimensions, déterminer le volume de la zone définie par les conditions :
$$
\begin{gather}
−a_i\le x_i \le a_i, \text{ pour }1\le i\le n\\
−a_{n+1}\le x_1 +\cdots+ x_n ≤ a_{n +1}
\end{gather}
$$
que devient ce volume quand $n$ est grand ?

Dans le cas de $n$ fini, ce problème a été résolu sous une forme équivalente par Lagrange en 1771 et sous une autre forme par Laplace en 1777. Dans le cas de $n$ infini il a été résolu en 1810 par Laplace. La solution de Laplace est à l’origine directe de la Théorie analytique des probabilités de 1812. Elle est identique à celle de Pólya, et les arguments de Laplace ne sont pas différents de ceux de Pólya, qui y apporte toutefois la rigueur et l’élégance de l’Analyse du 20e siècle, celles notamment de son directeur de thèse L. Fejér.

Le volume dont il s’agit est égal à
$$
\frac{2^{n+1}}\pi\int_0^\infty\frac{\sin a_1x\sin a_2x\cdots\sin a_{n+1}x}{x^{n+1}}dx
$$
de sorte que si $a_i =\frac12$, pour $1\le i\le n$, et $a_{n+1}=n\sqrt n$, le volume est égal à
$$
\frac 2\pi\int_0^\infty\left(\frac{\sin x}x\right)^n\frac{\sin 2\eta\sqrt n x}xdx
$$
et si n est grand, cette dernière intégrale est à fort peu près égale à
$$
\int_{-\eta}^\eta\sqrt{\frac 6\pi}e^{-6x^2}dx
$$

Affiche: