Résultats d’impossibilité : de la géométrie à l’analyse

Orateur: CRIPPA Davide
Localisation: Université Paris 7, France
Type: Histoire et philosophie des mathématiques
Site: UPEM
Salle: 3B 075
Date de début: 19/02/2013 - 16:00
Date de fin: 19/02/2013 - 16:00

En étudiant les différentes méthodes de résolution de problèmes posés au fil de l'histoire, on tombe sur des problèmes reconnus comme impossibles. Comme on sait, les mathématiques modernes ont une manière standard pour traiter des cas pareils. Ainsi l'impossibilité de rectifier la circonférence par la règle et le compas est démontré en prouvant que le nombre qui mesure la circonférence d'un cercle donné de rayon égale à 1 n'appartient pas au corps des nombres algébriques. En générale, l'impossibilité de résoudre un problème de construction par des moyens donnés se réduit à montrer que la solution n'appartient pas au même corps auquel les données du problème appartiennent. Toutefois, l'impossibilité de résoudre de pareils problèmes était déjà reconnue et affirmée bien avant l'interprétation moderne de la notion de construction au moyen de l'algèbre et de la géométrie analytique.

Dans cette intervention, on prendra en considération certains épisodes tirés des mathématiques anciennes et de l'âge classique, dans lesquels l'impossibilité de rectifier la circonférence ou trisecter un angle par des outils donnés sont affirmés. On se demandera quel était leur statut leur signification dans le relatif contexte historique. Un cas échéant est représenté par Pappus (IIIème siècle de notre ère), dans les mathématiques anciennes, et par R. Descartes, J. Gregorie et W.G. Leibniz dans le contexte du XVIIème siècle. Le cas de la géométrie des grecs nous permettra d'expliciter quels genres de démonstrations d'impossibilité pouvaient être formulés par les auteurs anciens, et pour quelle raison. Le cas des mathématiques du XVIIème siècle nous fait comprendre que l'influence des textes classiques a été durable, de façon que la manière par laquelle Descartes aborde l'impossibilité en mathématique est redevable de Pappus. Finalement, Gregory et Leibniz nous permettrons de faire le point sur la signification des théorèmes d'impossibilité dans le contexte de leur mathématiques, et sur le lien entre impossibilité et simplicité.

Affiche: