L’énigme des quadrilatères de Brahmagupta : lectures croisées en Europe au 19ème siècle

Orateur: SMADJA Ivahn
Localisation: Université Paris 7, France
Type: Histoire et philosophie des mathématiques
Site: UPEM
Salle: 3B 075
Date de début: 17/03/2015 - 16:30
Date de fin: 17/03/2015 - 16:30

Vingt après la publication en 1817 de la traduction en anglais par Henry Thomas Colebrooke des chapitres mathématiques du Brahma-sphuta-siddhanta de Brahmagupta, le mathématicien français Michel Chasles attira l’attention de ses contemporains sur l’importance dans ce texte d’un groupe d’énoncés énigmatiques relatifs à diverses questions de géométrie des quadrilatères. Il entendait montrer que ces énoncés qui pouvaient sembler au premier abord ne former qu’une collection disparate de propositions sans preuve, devaient en réalité être interprétés comme faisant système. Chasles y voyait une théorie géométrique unifiée destinée à résoudre complètement, avec précision et en toute généralité, l’unique question suivante : comment construire un quadrilatère cyclique dont les côtés, les diagonales, les perpendiculaires, les segments, l’aire et le diamètre du cercle circonscrit soient exprimables en nombres rationnels. Quelques années plus tard, les quadrilatères de Brahmagupta suscitèrent un vif intérêt en Allemagne. Parallèlement à sa théorie des nombres idéaux, Ernst E. Kummer s’attacha à produire une interprétation concurrente, en jetant un pont entre le problème des quadrilatères rationnels, transposé en langage algébrique, et les méthodes eulériennes en analyse diophantienne. En reconstruisant ainsi les prétendues méthodes de Brahmagupta, Kummer démontra que Chasles s’était trompé en croyant pouvoir imputer à l’auteur indien une théorie générale des quadrilatères rationnels, même dans le cas restreint des quadrilatères cycliques, car une théorie véritablement générale exigeait selon lui des moyens autrement puissants qu’il se proposait justement d’élaborer.

Enfin, au début des années 1870, en combinant précision philologique et acuité mathématique, le mathématicien et historien des mathématiques Hermann Hankel proposa une nouvelle interprétation du texte de Brahmagupta, qui rendait justice à l’intuition principale de Chasles tout en tenant compte des contraintes mises en lumière par la théorie de Kummer. Dans cette conférence, on exposera ces trois moments principaux de l’histoire des lectures de Brahmagupta au 19ème siècle, en mettant l’accent sur les relations qui lient construction et démonstration dans le cas de cette théorie des quadrilatères cycliques rationnels.

Affiche: