En 1874, Georg Cantor met en lumière la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels : aucune suite de nombres réels (xn)nN ne peut contenir tous les nombres réels. D'un autre côté, Cantor voit qu'il peut mettre en bijection R et R2, ou même R et Rd pour tout d > 2 ; il dégage ainsi la notion de puissance du continu, qui est la cardinalité commune aux espaces Rd. Le « continu » est donc strictement « plus grand » que le dénombrable. Dès lors, une question assez naturelle se pose: y a-t-il des cardinalités intermédiaires, qui seraient strictement plus grandes que le dénombrable, mais strictement plus petites que le continu ? Cantor fait l'hypothèse qu'il n'en existe pas, c'est l'hypothèse du continu. Il en cherche longtemps la preuve, sans succès ; de fait, la question ne sera complètement résolue qu'en 1963 par Paul Cohen. Entre-temps, Ernst Zermelo aura contribué à l'axiomatisation de la théorie des ensembles au début des années 1900, et ouvert la voie aux nombreux progrès que cette théorie axiomatique a réalisés au long du 20e siècle.
