Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur le graphe $Z^d$ : aux arêtes $e$ du graphe sont associées des variables ($t(e)$) i.i.d. positives. La variable $t(e)$ est appelée le temps de passage de $e$, c’est le temps nécessaire pour traverser l’arête $e$. Il en découle une pseudo-métrique aléatoire $T$ sur le graphe : $T(x,y)$ est le temps minimal nécessaire pour aller d’un site $x$ à un site $y$. Cette pseudo-métrique a été largement étudiée. On peut montrer entre autres que :
- quelque soit le site $x$ considéré, la limite quand n tend vers l’infini de $T(0,nx)/n$ existe en un certain sens : on l’appelle la constante de temps et on la note $m(x)$,
- cette convergence a lieu uniformément en la direction de $x$ : c’est le théorème de forme asymptotique,
- la constante $m(x)$ dépend continûment de la loi des temps de passage.
Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique, on autorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il faut s’assurer que les arêtes de temps de passage fini percolent : on suppose que l’atome de la loi des temps de passage en l’infini est inférieur strictement à $1-p_c(d)$, le paramètre critique pour la percolation de Bernoulli par arêtes dans $Z^d$. Cela revient à faire une percolation de Bernoulli sur-critique sur $Z^d$, puis à associer indépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nous verrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois des temps de passage.
