Un sommet du réseau Zd est dit visible depuis l'origine si le segment de droite joignant l'origine à ce sommet intersecte le réseau en exactement deux points (l'origine et le sommet lui-même). Cette notion a un contenu arithmétique : (x1,…,xd) est visible depuis l'origine si et seulement si PGCD(x1,…,xd)=1.
Colorions les sommets visibles depuis l'origine en blanc et les autres en noir. À quoi ressemble ce coloriage vu depuis un point choisi "uniformément au hasard dans Zd" ? Nous verrons qu'il est possible de donner un sens rigoureux à cette question et d'y apporter une réponse satisfaisante.
Le coloriage aléatoire émergeant de cette étude peut être étudié du point de vue de la percolation. Nous verrons que, pour tout d≥2, presque sûrement, le nombre de composantes connexes blanches infinies vaut 1 tandis que le nombre de composantes connexes noires infinies vaut 0. On présentera une démonstration de ce résultat obtenue en collaboration avec Samuel Le Fourn et Mike Liu.
