Le problème d'assignation aléatoire euclidienne ( ou ERAP, en raison de l'acronyme de sa traduction anglaise ) peut être décrit comme suit: soient $\mathcal{B} =\{b_1,\ldots,b_n\}$ et $\mathcal{R}=\{r_1,\ldots,r_n\}$ des variables aléatoires iid uniformes sur un ensemble $\Omega$ de dimension $d$. Pour une bijection $\pi : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{R}$, soit $\mathcal{H}(\pi)=\sum_i dist(b_i,r_{\pi(i)})^p$. Le coût $E(\mathcal{B},\mathcal{R})$ de la couple $(\mathcal{B},\mathcal{R})$ est $E = \min_\pi \mathcal{H}(\pi)$.
Quel est-il le comportement asymptotique de la moyenne de $E$ pour grand $n$, selon le choix de $\Omega,p,d$ ?
On peut aborder cette question en étudiant le ``diagramme de phase'' du ERAP, c'est-à-dire, nous réduire à l'étude de l'ordre leading dans une telle asymptotique, selon le choix de $\Omega,p,d$.
Malgré sa formulation élémentaire, cette question partage des liens profonds avec, par exemple, le problème de Monge-Kantorovitch en transport optimal et l'étude des systèmes désordonnés en physique statistique.
Dans ce séminaire, après avoir discuté l'état de l'art sur le diagramme de phase, et discuté de quelques problèmes ouverts en dimension $d\leq 2$, je discuterai une version du ERAP ``en dimension intermédiaire'', où $\mathcal{B},\mathcal{R}$ sont distribués sur des fractales de dimension de Hausdorff $d_H \in (1,2)$ immergés dans le plan.
Travail en préparation avec Andrea Sportiello (CNRS et LIPN, Université Paris XIII) issu de ma thèse de doctorat.
