Dans un cadre de graphes avec poids, Lee, Gharan et Trevisan ont récemment obtenu des inégalités de Cheeger d'ordre supérieur : il s'agit d'estimer la $n$-ième valeur propre du graphe en le découpant en $n$ parties qui ont du mal à communiquer. Nous verrons comment de telles considérations isopérimétriques permettent de prouver une conjecture de Hoegh-Krohn et Simon relative des opérateurs de Markov $M$ ergodiques et réversibles par rapport à une probabilité $\mu$ sur un espace mesurable quelconque : si $M$ est de plus supposé borné de $L^2(\mu)$ dans $L^4(\mu)$, alors il admet un trou spectral. Mais sauf dans les situations déjà étudiées par Wang, il n'existe pas de relation quantitative entre cette propriété d'hyperbornitude et le trou spectral et il n'est possible de minorer qu'une autre valeur propre. On présentera également l'extension des inégalités classiques de Cheeger et de Buser dans un cadre riemannien compact et l'application aux comportements des petites valeurs propres des laplaciens de Witten à basse température.
