Je vais montrer comment étudier des théorèmes limites sur l'espace de Poisson, en utilisant une nouvelle représentation explicite du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck - proche de celle de Mehler en analyse Gaussienne. Ces résultats sont particulièrement intéressants en géométrie stochastique, et permettent de définir une version très faible de la notion de 'stabilisation'. Une telle notion a été introduite par Penrose et Yukich (2001, 2002) en généralisant des techniques utilisées par Kesten et Lee (1996) dans leur preuve du TCL pour la longueur de l'arbre recouvrant minimal. Je vais aussi montrer comment cette nouvelle représentation du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck permet de déduire une preuve intrinsèque de l'inégalité de log-Sobolev obtenue par Liming Wu en 2001. Je compte aussi discuter un certain nombre de problèmes ouverts, portant notamment sur des inégalités de concentration et transport, et sur l'optimalité des taux de Berry-Esseen.
Cet exposé est basé sur un article co-écrit en 2014 avec G. Last et M. Schulte (Karlsruhe), ainsi que sur un travail en cours avec S. Bachmann (Osnabrück).
