Dans cet exposé, on s’intéresse à des problèmes d’optimisation de forme dans l’ensemble des domaines convexes, par une approche de calcul de variations (question d’existence de minimiseur, écriture de conditions d’optimalité…). On commencera par décrire de nombreux exemples issus de branches diverses et qui rentrent dans ce cadre (le problème de résistance minimal de Newton, la conjecture de Mahler, la conjecture de Polya-Szego, les problèmes isopérimétriques inverses et de Faber-Krahn inverses, le problème de trou spectral). On montrera un phénomène commun à toutes les solutions de ces problèmes, à savoir une saturation de la contrainte de convexité (la courbure de Gauss veut s’annuler autant que possible). Enfin, on expliquera comment on peut dans certains cas préciser ce comportement et en déduire des informations sur les minimiseurs.
