Inégalités fonctionnelles optimales, diffusions non linéaires et brisure de symétrie

Orateur: DOLBEAUT Jean
Localisation: Université Paris Dauphine, France
Type: Groupe de travail Courbure, Transport Optimal, et Probabilités (CTOP)
Site: Hors LAMA , IHP
Salle: 01
Date de début: 05/11/2015 - 14:00
Date de fin: 05/11/2015 - 14:00

La brisure de symétrie est un phénomène fondamental de la physique. Lorsque l'on modélise des milieux continus, du point de vue de l'analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, l'une des formes les plus simples de la brisure de symétrie apparait dans les équations non-linéaires faisant intervenir des poids ou des potentiels. C'est le cas, par exemple, lorsqu’une non-linéarité, qui tend à agréger et à concentrer la solution tout en la rendant symétrique, entre en compétition avec le poids, dont l'effet est de décentrer la solution. Les deux effets sont antagonistes, et tout l’enjeu est de savoir qui gagne. L'analyse de la stabilité linéaire des solutions symétriques fournit un critère simple, qui garantit la brisure de symétrie et permet de construire, par des méthodes de bifurcation, une branche de solutions non-symétriques qui co-existe avec la branche de solutions symétriques. Le cas de la symétrie est beaucoup plus difficile à caractériser. Les méthodes classiques utilisent des arguments de comparaison, basés par exemple sur des hyper-plans mobiles, des techniques de symétrisation, ou encore des estimations a priori. Toutes ces méthodes ne couvrent en général qu'une partie de l’ensemble des paramètres pour lesquels les solutions symétriques sont linéairement stables.

Le travail réalisé avec Maria J. Esteban et Michael Loss est intitulé “Rigidity versus symmetry breaking via nonlinear flows on cylinders and Euclidean spaces.” Ce travail permet d’apporter une réponse complète dans un cas relativement simple et néanmoins intéressant d’analyse non linéaire. Il s'agit de l'étude des fonctions optimales pour des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, qui sont des inégalités de type Sobolev, critiques, pour des fonctions définies sur l'espace euclidien, avec des poids homogènes. Ces inégalités dépendent de deux paramètres (typiquement, les exposant des poids, mais on peut aussi choisir d’autre jeux de paramètres). Alors que les équations qui définissent les solutions optimales sont invariantes par rotation, toute la question est de savoir pour quels paramètres les solutions optimales sont elles-aussi à symétrie radiale. A ce jour, la question était restée ouverte. Notre résultat montre que le critère d'instabilité linéaire des solutions radiales, qui avait été établi par V. Felli et M. Schneider, est en fait un critère global pour la brisure de symétrie: dans la zone de stabilité linéaire, il n'y a pas d'autres solutions que les solutions radiales, alors que dans la zone complémentaire de l'espace des paramètres, ce sont les solutions non-radiales qui sont optimales.

Le résultat clôt un long programme de recherche, mais c'est sans doute la méthode qui est le principal apport de l’article. L'idée principale consiste à faire évoluer la solution, ou plus généralement une fonction quelconque, dans le paysage d'énergie, en utilisant un flot non-linéaire de diffusion, de type milieu poreux ou diffusion rapide, adapté aux poids, et à établir des propriétés de monotonie pour la fonctionnelle d'énergie. Il s’agit donc de mettre en œuvre une diffusion ad hoc, construite pour les besoins du problème, pour montrer la monotonie, l’unicité, et en définitive, la symétrie. Utiliser des méthodes d’entropie non pour elles-même mais comme outil ouvre de nombreuses perspectives pour l'étude fine de la brisure de symétrie et, plus généralement, pour la démonstration de propriétés fines de fonctions optimales pour des inégalités fonctionnelles. L’un des ingrédients de la méthode consiste à utiliser des formulations équivalentes de l’inégalité fonctionnelle à poids, par exemple une inégalité d’interpolation, sans poids, sur un cylindre, ou encore une inégalité de type Sobolev, à poids, sur une sphère; ceci ouvre tout un champ de problèmes: diffusion sur des variétés compactes, flots gradients en présence de poids, équivalence avec des problèmes critiques en dimension “non entière,” etc.

Plutôt que d’essayer de donner les preuves détaillées, le but du groupe de travail est de montrer ce qu’apportent les différentes pièces du puzzle: rôle de la non-linéarité dans l’espace euclidien, puis sur une variété compacte (la sphère) et pourquoi il ne suffit pas d’utiliser le flot de la chaleur, formulations équivalentes des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg et “changement de dimension”, outils du calcul des variations, propriétés de régularité des solutions des équations d’Euler-Lagrange, et finalement décroissance des solutions et demeures dérivées, qui est une propriété cruciale pour justifier les calculs formels dans le cas de variétés non-compactes.