La première partie de l'exposé présentera l'inégalité d'Ehrhard qui est une sorte d'inégalité de Brunn-Minkowski gaussienne optimale. On parlera de ses conséquences et de quelques unes de ses preuves récentes. La deuxième partie montrera comment l'inégalité d'Ehrhard peut être utilisée pour obtenir de nouvelles inégalités de concentration pour les fonctions convexes sous la mesure gaussienne. Nous verrons que ces nouvelles inégalités de concentration permettent de retrouver partiellement un résultat d'Eldan-Lee et Lehec sur une propriété d'hypercontractivité fine du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck. D'après Gozlan-Madiman-Roberto-Samson, van Handel, Paouris-Valettas, Paouris-Neeman.
