La définition d’invariants géométriques discrets tels la courbure est un problème ardu. En 2009, Ollivier a proposé une définition adaptée à un grand nombre de contextes (espace métriques mesurés) incluant notamment les graphes et les surfaces polyédriques, et qui coïncide avec la courbure de Ricci dans le cas riemannien. Lin, Lu et Yau, puis Bauer, Jost et Liu ont étendu et appliqué cette idée aux graphes, et donné des estimées de courbure, et par conséquent de diamètre, en fonction de la combinatoire (théorème de Myers). J'expliquerai l’idée d’Ollivier (comment utiliser le transport optimal pour définir une courbure), puis comment on l’estime ou la calcule pour certains graphes et surfaces polyédriques, ainsi que les questions que cela pose.
Travail en collaboration avec Benoît Loisel.
