La généralisation de la théorie de Sturm-Lott-Villani au cadre des graphes passe par la construction de courbes jouant le même rôle que les géodésiques de Wasserstein dans le cadre continu, et le long desquelles les propriétés de convexité de l'entropie reflètent la géométrie du graphe sous-jacent.
Durant cet exposé nous développons les points suivants :
1°) Etant donnés une mesure de probabilité $\mu$ sur un graphe et un certain point $0$ du graphe, appelé origine, nous construisons une famille interpolant $\mu$ et le Dirac en $0$. Nous donnons ensuite des résultats de convexité de l'entropie dans des cas particuliers “canoniques”.
2°) Dans une deuxième partie, étant données deux mesures de probabilité sur $\mathbb Z$, nous construisons une famille interpolant ces deux mesures, satisfaisant une version discrète de l'équation de Benamou-Brenier décrivant les géodésiques de Wasserstein sur $\mathbb R$, et le long de laquelle l'entropie est convexe.
3°) Nous finirons l'exposé en présentant la conjecture dite de Shepp-Olkin, relative à l'entropie des sommes de variables de Bernoulli indépendantes. Nous prouverons cette conjecture dans certains cas particuliers, en utilisant des méthodes introduites dans les deux premières parties.
