Je commencerai par rappeler une inégalité intégrale, dans la preuve du théorème de K. Ball sur les sections du cube de volume maximal, et l'approche de Nazarov et Podkorytov pour la prouver. J'expliquerai ensuite comment on peut utiliser le transport optimal pour une approche alternative puis esquisserai la preuve de l'inégalité intégrale de Ball par cette dernière méthode. J'expliquerai ensuite pourquoi le résultat de Nazarov et Podkorytov et le nôtre peuvent être vus comme des critères pour obtenir de la majorisation.
Enfin, j'expliquerai comment exploiter le théorème de contraction de Caffarelli pour obtenir que toute fonction log-concave par rapport à la gaussienne domine la gaussienne (pour l'ordre convexe) et donc que la gaussienne maximise l'entropie de Tsallis parmi l'ensemble des densités log-concaves par rapport à la gaussienne. Si le temps le permet, je dirai un mot sur une version quantitative du résultat de Ball sur les sections du cube. Exposé reposant sur deux travaux en collaboration avec James Melbourne (Transport-majorization to analytic and geometric inequalities, arxiv.org/abs/2110.03641 et Quantitative form of Ball's Cube slicing in $\mathbb{R}^n$ and equality cases in the min-entropy power inequality, arxiv.org/abs/2109.03946).
