Dans cet exposé je présenterai deux familles de coûts de transport définis de manière variationnelle grâce à des solutions d'EDP de type Hamilton-Jacobi :
(*) les coûts de Hellinger-Kantorovich (définis et étudiés par Liero, Mielke et Savaré) et qui contiennent comme cas particulier W_2 ainsi que la distance de Hellinger;
(*) les divergences entropiques (définies par Baudoin et Eldredge) et qui contiennent l'entropie de Rényi.
Je montrerai comment Baudoin et Eldredge ont utilisé ces distances afin de caractériser certains contrôles du gradient d'un opérateur de Markov par la contraction de l'opérateur dual entre certaines distances de ces familles.
En particulier nous montrerons que pour un opérateur de Markov il y a équivalence, d'une part entre:
(*) une inégalité de Poincaré inverse;
(*) l'opérateur dual est contractant entre la distance de Hellinger et la distance W_2;
(*) une inégalité de type Harnack;
et, d'autre part, entre:
(*) une inégalité de Sobolev logarithmique inverse;
(*) l'opérateur dual est contractant entre deux coûts entropiques;
(*) une inégalité de type Harnack-Wang.
Dans la seconde partie, je discuterai de l'application de certains de ces résultats à des diffusions qui ne satisfont pas le critère de Bakry-Emery usuel mais entrent dans le cadre de cette analyse.
