Les critères de courbure de Bakry-Emery (pour les diffusions Markoviennes) et de Lott-Sturm-Villani (pour les espaces métriques mesurés) offrent un cadre systématique pour aborder les inégalités fonctionnelles sur une large classes d'espaces (qui contient en particulier les variétés riemanniennes à poids). Ces deux critères formulent de manière synthétique la notion de courbure de Ricci minorée pour des espaces singuliers pour lesquelles la notion de tenseur de Ricci n'est a priori pas défini.
Un exemple naturel de classe d'espaces qui ne satisfont jamais aucun de ces deux critères important est fourni par les variétés (strictement) sous riemanniennes. Toutefois des progrès récents ont permis d'établir pour un exemple particulier d'abord (Balogh, Kristály, Sipos, JFA) et pour le cas général ensuite (Barilari, Rizzi, Inventiones) une inégalité de déplacement convexe pour les variétés sous riemanniennes, généralisant le résultat de (Cordero-Erausquin, McCann, Schmuckenschläger, Inventiones) pour les variétés riemanniennes.
Il est alors naturel de se demander quel est le critère de courbure associé à cette inégalité de déplacement convexe et quelles sont les conséquences en terme d'inégalités fonctionnelles. Dans une prépublication récente, Milman a proposé une réponse partielle à ces questions en introduisant le critère de quasi courbure dimension (QCD), en montrant (grâce aux résultats de Barilari-Rizzi) que les variétés sous riemanniennes satisfont QCD et que QCD implique des inégalités fonctionnelles (Poincaré, ou log-Sob) pour des domaines bornés.
Comme dans le cas classique le critère QCD dépend d'un paramètre de courbure K et d'un paramètre de dimension N. Il dépend en plus d'un paramètre de relaxation q (on a CD = QCD quand q = 1). Milman formule son critère uniquement pour une dimension N finie à l'aide des coefficients de distorsion, caractérise complètement les espaces QCD de dimension 1 et établit les inégalités fonctionnelles d'abord pour ces espaces de dimension 1 et ensuite pour toute dimension grâce à l'argument de localisation de Klartag. Milman obtient ainsi des inégalités fonctionnelles optimales avec constante explicite.
Plan de l'exposé:
1) Exemples, motivations
Exemple de variété sous riemannienne: le groupe de Heisenberg H. Échec des critères de courbure dimension classiques. Quelques inégalités fonctionnelles surprenantes sur H. Définition des variétés sous riemanniennes (approche probabiliste avec les diffusions sous elliptiques).
2) Le critère QCD
Coefficients de distorsion et inégalité de déplacement convexe. Critère CD, MCP et QCD avec les coefficients de distorsion et le transport optimal. QCD en dimension 1 et inégalités fonctionnelles. Localisation (très brièvement).
3) Questions
Formulation entropique de QCD. Formulation Bochner de QCD (avec le Γ_2). QCD pour N = ∞.
