On étudie les applications $C^2$ du cercle préservant l'orientation avec un intervalle plat. On démontre que si le nombre de rotation est de type borné alors il y a une transition soudaine de géométrie : on passe de la géométrie dégénérée à la géométrie bornée, quand le degré des singularités au bord de l'intervalle plat franchit un seuil. Le cas général du type non borné est également étudié. La situation devient plus compliquée à cause de la présence de phénomènes paraboliques. De plus, nos résultats sur les applications du cercle nous permettent d'étudier la dynamique des flots de Cherry du point de vue de la géométrie et de la théorie ergodique. En particulier, on construit un exemple de tel flot qui est métriquement non trivial. Nous donnons également une description complète des mesures physiques pour ce flot.
