Dans cet exposé, je présenterai le modèle de Landau-De Gennes pour les cristaux liquides nématiques. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d’une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine physique (3D) est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s’attendre à ce qu’un minimiseur soit également à symétrie radiale. Certaines simulations numériques suggèrent que ce n’est pas le cas dans certains régimes de paramètres, et une certaine structure en tore apparaît. Lorsqu’une symétrie axiale (équivariante) est imposée, des solutions singulières peuvent aussi apparaître, appelées solutions « splits ». J’essayerai d’expliquer l’existence et la géométrie de ces solutions tores et splits, en partie à l’aide de la théorie des applications harmoniques à valeurs dans la sphère S4. Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration avec Federico Dipasquale et Adriano Pisante.
