Au cours du XXème siècle le nombre des mathématiciens a cru considérablement, au moment où le champ des mathématiques s’élargissait. Cet élargissement s’est nécessairement accompagné d’une structuration du milieu avec apparition de nouvelles entités, certaines sur une base scientifique ou de pratique professionnelle, d’autres sur une base géographique, d’où la question de l’existence d’une ou de plusieurs communautés mathématiques. En filigrane il y a aussi la question de l’unité des mathématiques, et de la signification que prend la revendication, souvent faite par les mathématiciens, de l’unité de leur discipline.

L’exposé portera sur le rôle et l’action de Lions dans la construction d’une Ecole de mathématiques appliquées et son fonctionnement en réseau dans les années 1960 et 1970.

Seront analysés les contextes scientifique et institutionnel de cette construction, et les ruptures que cet effort représentait.

Dans ce cours, on essaiera de présenter l’histoire du groupe Bourbaki et de son influence sur le développement des mathématiques du vingtième siècle. Outre l’historique de la constitution du groupe lui-mme, on étudiera la préhistoire conceptuelle, surtout les développements en algèbre, en théorie de l’intégration et en analyse fonctionnelle antérieurs à 1930 environ, mais aussi le débat sur les fondements de mathématiques s’ayant déroulé à cette époque. On discutera brièvement les traits épistémologiques principaux de l’oeuvre collectif intitulé “Eléments de mathématique”, autour des mots-clés suivants: l’unification des mathématiques, le “structuralisme” et la position “hypothético-déductive” de Bourbaki. Puis, on présentera quelques apports mathématiques qui sont propres à Bourbaki. Après avoir discuté l’influence que Bourbaki a pu exercer pendant un certain temps sur l’enseignement des mathématiques, on terminera sur le déclin de cette école, lié à une multitude de raisons. Parmi ces raisons, il convient de souligner l’incapacité de Bourbaki d’intégrer certaines théories mathématiques dans son système, notamment les mathématiques appliquées d’une part et la théorie des catégories d’autre part. Cette dernière théorie constitue un outil conceptuel puissant qui, bien que déjà Bourbaki ait accentué les morphismes et les problèmes universels, n’a été retenu dans les mathématiques franaises que dans l’oeuvre de Grothendieck et d’Ehresmann (tous les deux ayant d’ailleurs démissionné du groupe Bourbaki à un moment donné).

Cet exposé vise à donner un aperçu des Mathématiques Russes au travers des quelques personnalités clés de leur histoire.

En tant qu’objet de recherche, les mathématiques en Russie existent depuis environ 3 siècles. Etant un phénomène culturel multiface, il est difficile de donner un dénominateur commun à des événements aussi différents que la période pétersbourgeoise de Leonard Euler (qui a duré plus que 20 ans) et l’école de Pafnoutii Tchebychev, “La Lusitanie” de Nikolai Lusine, l’école d’Andrei Kolmogorov et celles d’Israel Guelfand ou de co-fondateur de la théorie des distributions, Serguei Sobolev. Mais on trouve certainement dans toutes ces activités, avec leurs diversités, plusieurs traits unificateurs et fondateurs dans le style de fonctionnement, dans le choix des sujets, dans l’approche aux problèmes et l’organisation de la vie académique. Tout cela, permet-il de parler d “école russe” particulière, cela dépend, peut-être, des convictions de celui qui en juge.

Un bon nombre de mathématiciens de la deuxième moitié du 19ème siècle, allemands ou même européens, a suivi les cours de Karl Weierstrass à l’Université de Berlin. Nous nous intéresserons principalement à une toute petite partie de cet enseignement, celle qui concerne les fondements de l’Analyse réelle. Parmi les mathématiciens qu’on peut situer dans cette lignée, Eduard Heine a rédigé plusieurs des principes de l’Analyse réelle, de la définition des nombres réels par suites de Cauchy, jusqu’à la démonstration de la continuité uniforme des fonctions continues sur un intervalle fermé borné. Georg Cantor a contribué aux débuts de la topologie et de la théorie des ensembles ; il a introduit des méthodes nouvelles qui n’ont pas toujours rencontré l’accord des contemporains, mais qui ont pu être justifiées dans le cadre de l’axiomatisation ensembliste du 20ème siècle.

Parler de deux écoles de mathématiques au Moyen-Âge latin paraît quelque peu paradoxal. Il est en effet généralement admis que le Moyen-Âge latin se caractérise par une remarquable unité intellectuelle du fait d’un fonctionnement universitaire étroitement dépendant de l’Eglise, modèle d’institution centralisée. Il est aussi admis que le Moyen-Âge latin ne comporte aucun savant mathématicien digne de ce nom, surtout quand on le compare au Moyen-Âge arabe. On décrira le développement à Oxford, dans la première moitié du XIVe siècle, d’une physique mathématique particulière dans laquelle les problèmes traités semblent des prétextes à des développements mathématiques, originaux par rapport à la tradition euclidienne, cette originalité des “calculateurs” d’Oxford étant revendiquée par les maîtres eux-mêmes. Vers le milieu du XIVe siècle les écrits d’Oxford sont étudiés dans l’Université de Paris et c’est pour une bonne part par rapport à eux que se définit alors l’école parisienne. On essaiera de voir en quoi ces “écoles” se différencient et à quels types de mathématiques elles se sont intéressées.

Dans la famille Bernoulli, qui compte huit mathématiciens sur trois générations, les mathématiques se sont transmises d’une génération à l’autre, au point que Leibniz a créé le néologisme “bernoullizare” pour désigner l’activité des mathématiciens. Peut-on parler pour autant d’une école ? Pour répondre à cette question, nous examinerons les thèmes abordés par les Bernoulli, les méthodes qu’ils mettent en oeuvre et les interventions politiques qu’ils effectuent à un niveau européen en faveur des leurs. Sujets de ce qu’on a pu appeler l’empire leibnizien, les Bernoulli oeuvrent de fait en faveur de la diffusion du calcul infinitésimal et de ses prolongements en mécanique. Ils soutiennent publiquement des controverses pour en démontrer la supériorité et se battent entre eux pour des questions de priorité. Cette compétition féroce, qui caractérise la première génération, est-elle un phénomène d'école ou doit-elle son exacerbation paroxistique aux pratiques mathématiques de l’époque ?

Peut-on parler d’une école mathématique de Bagdad ? Si l’on entend par école un cadre dans lequel se déploie un enseignement et s’établissent des filiations, la réponse ne peut être que négative : au IXe siècle en effet, coexistent dans cette ville au moins deux “écoles” rivales, celle des Banu Musa et celle d’al-Kindi. Si l’on donne par école le sens beaucoup plus large de tradition mathématique, sans doute alors les deux groupes des Banu Musa et d’al-Kindi seraient-ils moins opposés que ce que pourrait laisser supposer leur rivalité, mais la question perdrait incontestablement de son acuité. Nous traiterons ici du premier sens, en examinant la figure de Thabit ibn Qurra (826-901), lui-même élève des Banu Musa, et de deux de ses successeurs : son petit-fils Ibrahim ibn Sinan (909-946), et un mathématicien du milieu du Xe siècle proche de cette famille, Abu Sahl al-Quhi.

Les historiens de l’Antiquité grecque usent (et abusent) de la notion d’école, notamment en ce qui concerne la philosophie, la médecine et, parfois, les arts. Ce qui définit alors l’école, avec toutes les variations que l’on peut imaginer, c’est l’existence (réelle ou supposée) d’un fondateur, généralement attaché à un lieu précis (temple, enclos sacré, jardin, gymnasium, ville), autour duquel une communauté se réunit, discute, enseigne et transmet (souvent enrichit et transforme) son savoir-faire ou sa doctrine. Cela a-t-il un sens de parler d’écoles ou de traditions mathématiques dans l’Antiquité grecque ? A titre d’exemple on se demandera qui a inventé l’école mathématique d’Alexandrie : le roi Ptolémée quand il a fondé le Musée et sa fameuse bibliothèque ou Euclide, quand il a composé ses Éléments, ou les historiens modernes des mathématiques grecques ?

Dans cette exposé élémentaire nous décrirons les méthodes qui ont permis de résoudre la question posée par Poincaré, connue sous le nom de "conjecture de Poincaré". C'est surtout la démarche qui nous intéressera; comment une question de topologie a-t-elle conduit à l'utilisation de flots géométriques c'est-à-dire à des méthodes d'analyse? On peut situer la bifurcation au moment où W. Thurston propose son programme de géométrisation. La géométrie ouvre la voie à l'analyse dans laquelle R. Hamilton et G. Perelman se sont engouffrés avec tant de succès.