La géométrie non euclidienne est fondée sur la négation du postulat dit "des parallèles". Son histoire peut se décomposer en trois périodes:

1) La première débute dès l'Antiquité et est caractérisée par de nombreuses tentatives pour démontrer ce postulat. Elles ont en commun de contenir soit une erreur soit de faire appel à un énoncé équivalent à ce postulat.

2) La deuxième est celle de la découverte ou de la création. Celle-ci est effectuée de manière indépendante par Gauss, Bolyai et Lobatchevski entre 1820 et 1830. Gauss ne publie cependant rien et se contente de faire part de ses conclusions dans sa correspondance. Quant à Bolyai et Lobatchevski, leurs mémoires passent pratiquement inaperçus de la communauté scientifique.

3) La troisième est celle de la redécouverte. Elle débute vers 1865 à la suite de la publication de la correspondance de Gauss et Schumacher. Plusieurs lettres montrent que Gauss était convaincu de la possibilité de la géométrie non euclidienne. Elles contiennent aussi des jugements positifs sur les travaux de Lobatchevski. Cette caution apportée par le prince des mathématiciens suscite un nouvel intérêt pour ces travaux. Ceux-ci, ainsi que ceux de Bolyai, sont lus et traduits dans plusieurs langues. C'est le début d'une renaissance de la géométrie non euclidienne. Celle-ci devient un nouveau sujet de recherches mathématiques et commence en même temps à faire l'objet de discussions épistémologiques. Peu de temps après, Beltrami (1868) et Klein (1871) trouvent des interprétations de cette géométrie; elles permettront d'établir sa noncontradiction, problème laissé en suspens par Bolyai et Lobatchevski.

La conférence retracera les grandes lignes de l'histoire de la géométrie non euclidienne; une attention particulière sera accordée aux travaux de Bolyai, Lobatchevski et Beltrami.

Je commence mon intervention avec Euclide qui a travaillé sur l'idée des aires dans le premier livre de ses "Eléments" (repris par une autre méthode dans le sixième livre): Deux polygones ont même aire si ils sont composés des mêmes parties (aujourd'hui on parle de l'équidécomposabilité). Après on saute dans le 19e siècle. Il y avait un article par Gerwien dans lequel il démontre le résultat étonnant que deux polygones avec le même mesure (dans le sens usuel c'est à dire un nombre réel positif) sont équidécomposables. C'est de la belle géométrie liant la géométrie à l'analyse. De plus, Gerwien a bien compris qu'on peut généraliser sa méthode en donnant une démonstration analogue dans le cadre de la géométrie sphérique. Cette idée de généralisation fut reprise par L. Gérard, un thésard d'Henri Poincaré à Paris, en 1892, et par A. Finzel en 1912, un thésard à Strassburg im Elsass (alors attaché à l'Allemagne).

Aprés je peux parler sur l'axiome de Zolt - lié à la question innocente "Est-ce que le tout est-il toujours plus grand que sa partie?" - et des idées de Hilbert dans ses "Fondements" (l'aire des polygones est élémentaire dans le sens hilbertien). La fin sera le problème analogue pour les polyèdres et sa solution négative par Max Dehn.

Les historiens accordent souvent la première définition du cercle en Chine au philosophe Mozi (v. 479-v. 381 av. J.-C.), qui dit : « Un cercle a un centre unique et des longueurs égales». Dans les premiers écrits mathématiques chinois qui nous sont parvenus aujourd’hui (en particulier les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques du Ier siècle) on trouve des calculs de mesure du cercle, méthodes d’approximation par inscription et circonscription successives de polygones. C’est au début du XVIIe siècle avec l’arrivée des Jésuites qui transmettent la géométrie euclidienne et certaines méthodes calendaires qu’on commence à s’intéresser de manière plus systématique aux courbes en Chine. On traduit alors de nombreux ouvrages qui portent – souvent dans un contexte astronomique — sur la trigonométrie ou les sections coniques, en particulier l’ellipse. Ce chapitre de transmission interculturelle témoigne d’une assimilation des connaissances occidentales dans le contexte chinois et des efforts des mathématiciens de l’époque à faire la synthèse entre deux traditions jusqu’alors indépendantes.

Les principales étapes de l'histoire de la géométrie projective au 19e siècle seront présentées en insistant sur la manière dont les acteurs considèrent la question des éléments à l'infini et pour certains les éléments imaginaires. On essaiera de comprendre comment le plan et l'espace projectif se mettent en place en même temps que les éléments à l'infini deviennent des éléments ordinaires.

On cherchera à présenter les idées fondamentales que Descartes avance dans sa Géométrie de 1637, en montrant autant ses liens avec la tradition euclidienne que les éléments de nouveauté d'où les mathématiques modernes prennent leur origines.

Le mathematicus de la Renaissance est arpenteur, cartographe, horloger, etc. Il mesure le monde souvent avec l'aide d'instruments qu'il conçoit lui-même. On caractérisera la géométrie pratique qui se développe dès le xve siècle dans les ateliers, mais aussi le travail savant qui s'effectue en marge des textes classiques dans les cabinets des clercs. On confrontera en particulier, sur l'exemple des coniques, les deux approches mises en oeuvre par les artistes-artisans d'une part et par les clercs et universitaires de l'autre.

Sur cet exemple assez riche, nous appréhenderons les opérations intellectuelles fondamentales mises en oeuvre par le géomètre grec ancien : mesurer, construire, démontrer, en lisant ensemble quelques extraits d'Hippocrate de Chio, Euclide, Archimède, Héron.

Que sait-on de la géométrie en Grèce ancienne ? Qui étaient les géomètres ? Que connaissons nous de leurs travaux ? de leurs motivations ?

Pour la période la plus ancienne, j'étudierai la figure d'Archytas de Tarente. L'époque alexandrine est sans doute la plus riche, avec Euclide, Archimède et Apollonius. L'époque romaine puis l'Antiquité tardive nous permettent de mieux connaître les utilisations de la géométrie, ses fondements, son histoire.