Quand la première traduction d'un traité sur la théorie des probabilités en Chine (Jueyi shuxue, original: article de Thomas Galloway dans la 7ème édition de la Encyclopædia Britannica) avait paru en Chine en 1896, ni la pensée statistique, ni le symbolisme algébrique était répandu parmi les lettrés chinois. La migration de la pensée probabiliste à travers des cultures exigeait non seulement de trouver des termes précis pour de nouveaux concepts mathématiques ou de décrire le phénomène par paraphrases, mais aussi d'interpréter des notations occidentales avc l'ensemble terminologique disponible de la tradition algorithmique chinoise. Dans ce cours je souhaite analyser les raisons pour lesquelles l'introduction d'une pensée probabiliste dans un culture avec une longue tradition des jeux de hasard n'avait du succès uniquement après les années 1930
On touchera un (très) petit nombre de points liés aux œuvres de Riemann, Cantor, Borel entre 1850 et 1900. Certains de ces points devraient faire écho à des exposés précédents, sur la géométrie non-euclidienne par exemple. On évoquera les débuts de la topologie et de certaines idées fractales chez Cantor, et les premiers éléments de la théorie de la mesure chez Émile Borel.
Que la géométrie descriptive, que l'on peut définir comme une technique graphique de représentation de l'espace, ait été la discipline reine de la première École polytechnique semble surprenant pour le mathématicien contemporain. L'objectif de cette conférence sera de tenter d'expliquer cette position a priori paradoxale, en montrant comment la discipline créée par Gaspard Monge vient s'articuler à la fois sur des géométries pratiques anciennes et sur différentes branches des mathématiques. Cette double articulation permet de comprendre la place privilégiée que Monge lui accorde dans le curriculum des institutions scolaires fondées sous la Révolution française, ainsi que le renouveau des études géométriques en France qui suivra.
dans sa notice historique sur la vie de Montucla (le premier historien des mathématiques), lue à la société de Versailles, le 15 janvier 1800, le Blond décrivait ainsi les mathématiques du XVIIIe siècle : "Les séries reconnaissent des lois, les courbes se classent ; de nouvelles différentielles ajoutent encore à la théorie des infinis ; les fluides se pèsent ; le système planétaire se vérifie ; l'harmonie des mondes n'est plus un systèmes ; et la gravitation manifestée dans ses moindres effets devient l'agent universel."
Nous proposons de voir si l'œuvre de D'Alembert et les articles de mathématiques de l'Encyclopédie confirment cette image percutante.
Newton parvint à l'élaboration de la théorie des fluxions (sa version du calcul infinitésimal) entre 1664 et 1666, lorsqu'il était jeune étudiant à l'université de Cambridge, en s'appuyant sur trois sources principales : la méthode de quadrature de Wallis, la géométrie de Descartes, la méthode des tangentes de Roberval. On présentera ces sources et la manière dans laquelle Newton s'en réclame dans l'édification de sa théorie. On comparera le résultat qu'il obtient avec le calcul différentiel, établi une quinzaine d'années plus tard par Leibniz.
La période décrite dans ce cours s'est avérée d'une grande fécondité, une sorte d'âge d'or des mathématiques. Sous l'effet des nouvelles orientations suivies par la recherche mathématique au siècle précédent (voir premier cours), on assiste à la multiplication des mécanismes d'application d'une discipline à l'autre, en donnant ainsi naissance aussi bien à de nouveaux chapitres en mathématiques, en algèbre (bien sûr), en arithmétique et en géométrie, qu'à de nouveaux chapitres à l'extérieur des mathématiques, notamment en optique et en astronomie.
Le cours se propose de détailler ces différents développements et de faire une description générale de l'état d'avancement des mathématiques à la fin de la période envisagée.
La perspective des peintres, telle que la décrivent Leon Battista Alberti (1435), Piero della Francesca (vers 1480) ou Albrecht Dürer (1525), fonde la représentation de l'espace sur un dispositif géométrique. On peut dire qu'elle projette l'espace à trois dimensions sur un écran plat (comme le font encore nos modernes téléviseurs). Nous nous interrogerons sur l'origine de cette célèbre invention de la Renaissance ainsi que sur sa portée, notamment en mathématiques. Plonge-t-elle ses racines dans la théorie optique du Moyen-Age, dont elle serait un simple prolongement (l'hypothèse d'Oxford) ou a-t-elle été élaborée empiriquement dans les ateliers des peintres et ingénieurs italiens ? Simple technique picturale, la perspective a eu d'importants prolongements dans de nombreux domaines et est souvent utilisée comme métaphore de la modernité (Husserl). En mathématiques, est est dite préfigurer la géométrie projective, dont les premiers concepts et outils ont été élaborés au XVIIe siècle sous la plume de Desargues et dont le développement ultérieur a bouleversé l'organisation de tout le champ mathématique. Que savons-nous des liens entre perspective et géométrie ?
Au milieu du IXe siècle, Bagdad est un centre scientifique très actif. Sous légide du calife al-Ma'mun, la Mason de la Sagesse, célèbre académie des sciences, a vue le jour. Dès lors, la réception de lhéritage hellénistique s'organise autour d'un programme de traduction des écrits des grands savants, du grec à l'arabe. C'est ainsi que les mathématiciens arabes vont prendre connaissance des travaux d'Euclide, Archimède, Ménélaus, Apollonius, Ptolémée, entre autres. Au même moment, paraît, sous la plume d'al-Khwarizmi le premier livre d'algèbre.
La corrélation des deux phénomènes va donner naissance, grâce à l'impulsion des Banu Musa qui dirigent la Maison de la Sagesse, à de nouvelles traditions de recherche. Le renouvellement de la recherche mathématique auquel on assiste à cette période se fait en plusieurs temps : après s'être approprié le savoir grec, les savants arabes vont l'étendre en systématisant certains procédés, puis la recherche va s'émanciper du contexte hellénistique.
Ce cours a pour but de préciser ces mécanismes et d'expliquer comment le renouvellement des mathématiques auquel on assiste ai IXe siècle a pu se réaliser, et comment il permet de comprendre les développements futurs aux Xe-XIIe siècles.
Les Grecs disposaient d'une notion de "nombre" plutôt restreinte surtout si on la compare à celle élaborées au cours du XIXe siècle. Beaucoup de question qui, pour nous, relèvent du calcul, étaient formulées en termes de théories des proportions entre nombres et/ou entre grandeurs géométriques. Cette modalité a déterminé certains des problèmes que se sont posés les mathématiciens grecs, leurs réponses, sans doute aussi parfois leurs échecs. Le traitement euclidien de la proportionnalité qui a longtemps fondé cette pratique et celui, connexe, de l'irrationalité, ont été l'un des thèmes les plus débattus à propos des Éléments.
Il s'agit de revenir sur quelques questions générales posées à propos des mathématiques grecques : que représentent-elles dans l'histoire de cette discipline ? Quels en ont été les artisans et quelles étaient leurs motivations ? Quelles en étaient les traits caractéristiques ? Elles permettent de discuter des problèmes de sources et des questions de méthodes, inévitables quant il s'agit de l'histoire des sciences anciennes.
