We consider a class of Liouville equations that arise in differential geometry when prescribing the Gaussian curvature of a surface and in models of mathematical physics describing stationary Euler flows and self-dual Chern-Simons equations. We discuss methods, variational in nature, to derive general existence results from suitable improvements of the Moser-Trudinger inequality combined with Morse-theoretical methods. We will treat in particular the case with Dirac masses representing, in the above motivations, conical singularities or vortex points.

We consider a class of Liouville equations that arise in differential geometry when prescribing the Gaussian curvature of a surface and in models of mathematical physics describing stationary Euler flows and self-dual Chern-Simons equations. We discuss methods, variational in nature, to derive general existence results from suitable improvements of the Moser-Trudinger inequality combined with Morse-theoretical methods. We will treat in particular the case with Dirac masses representing, in the above motivations, conical singularities or vortex points.

C'est bien connu que l'entropie de la famille quadratique réelle est continue (Misiurewicz-Szlenk), monotone (Milnor-Thurston, Douady-Hubbard-Sulivan) et localement constante sur un ouvert dense de paramètres hyperboliques (Graczyk-Swiatek, Lyubich). L'ensemble de paramètres non-hyperboliques est de mesure positive (Jakobson, Benedicks-Carleson). Guckenheimer a montré que l'entropie est uniformément Hölder continue.

Nous (Dobbs-Mihalache) trouvons la valeur de l'exposant de Hölder de l'entropie $h$ en presque tout paramètre $a$. On a $$\mathrm{Höl}(h, a)=\frac{h(a)}{\lambda(a)},$$
où $\lambda(a)$ est l'exposant de Lyapunov de l'orbite critique (bien défini d'après Avila-Moreira).

En utilisant des résultats récents (Dobbs-Todd) sur la dépendance du paramètre des mesures invariantes, nous montrons que pour presque tout paramètre $a$, $$h'(a)=0.$$
En dehors d'un voisinage arbitraire de $-2$ (pointe de l'ensemble de Mandelbrot), presque tout paramètre est envoyé par $h$ dans un ensemble de dimension de Hausdorff strictement inférieure à $1$. En dehors d'un voisinage arbitraire de $\log 2 = h(-2)$, presque toute valeur de l'entropie provient d'un ensemble de paramètres de dimension de Hausdorff strictement inférieure à $1$.

In the study of complex dynamics, the so called equidistribution phenomena (of pullback of points, preperiodic points, and so on) towards the canonical measure supported on the chaotic part of dynamics have played a fundamental role in the recent development. Such equidistribution phenomena also occur in the parameter space of holomorphic family of rational functions, and have been studied by many researchers including Levin, Favre--Rivera-Letelier, Dujardin--Favre, Buff--Gauthier, and Gauthier--Vigny.

In a spirit of the Nevanlinna theory, it seems interesting to study how those equidistribution phenomena would be quantified. In this talk, we will survey a history of quantitative equidistribution in complex dynamics including a recent remarkable Gauthier--Vigny's in the parameter space of polynomial families, and will give a precision of their result in the specific (monic and centered) unicritical polynomials family.

We introduce and study a new complexity function in combinatorics on words, which takes into account the smallest return time of a factor of an infinite word. We characterize the eventually periodic words and the Sturmian words by means of this function. Then, we establish a new result on repetitions in Sturmian words and show that it is best possible.

We deduce a lower bound for the irrationality exponent of real numbers whose sequence of b-ary digits is a Sturmian sequence over $\{0,1,…,b−1\}$ and we prove that this lower bound is best possible. If the irrationality exponent of $\xi$ is equal to $2$ or slightly greater than $2$, then the $b$-ary expansion of $\xi$ cannot be `too simple', in a suitable sense. Our result applies, among other classical numbers, to badly approximable numbers, non-zero rational powers of $e$, and $\log(1+1/a)$, provided that the integer $a$ is sufficiently large. It establishes an unexpected connection between the irrationality exponent of a real number and its $b$-ary expansion.

This is joint work with Yann Bugeaud.

Dans une première partie, je décrirai les résultat de Miles Simon concernant le temps d'existence et les propriétés de régularisation du flot de Ricci quand la donnée initiale appartient à une famille de $3$-variétés compactes, pour lesquelles le volume des boules de taille 1 et la courbure de Ricci sont uniformément minorées. Je montrerai comment ces résultats s'appliquent à l'étude des espaces métriques obtenus comme limites d'éléments d'une telle famille.
Dans une seconde partie, j'expliquerai les difficultés qui apparaissent quand on s'intéresse à des variétés non-compactes, éventuellement non-complètes, et j'introduirai une notion de flot de Ricci d'une variété non-complète adaptée au problème.

In the moduli space of critically marked cubic polynomial, given a positive integer $n$, let $\operatorname{Per}_n(0)$ denote the set corresponding to polynomials having one periodic critical point of period $n$. We show that $\operatorname{Per}_n(0)$ is an irreducible algebraic curve provided that $n$ is prime. This is a joint work with Matthieu Arfeux.

The min-max theory developed in the 80s by Almgren-Pitts allows one to run Morse theory with the area functional on the space of hypersurfaces in a manifold to construct minimal surfaces in great generality. The challenge is to understand the geometry of the minimal surfaces produced this way. I will describe joint work with F.C. Marques and A. Neves where we use a sharp area estimate for catenoids to control the geometry in several settings.

Nous cherchons les métriques sur le tore $\mathbb T^2$ qui sont de
"complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la
complexité "dynamique" des métriques, c'est-à-dire l'entropie du flot
géodésique qui leur est associé. Nous verrons d'abord que l'entropie
usuelle (topologique) peut s'annuler pour des systèmes géodésiques de
complexités a priori non équivalentes sur pour des systèmes géodésiques de
complexités a priori non équivalentes sur $\mathbb T^2$ : par exemple les tores
plats et les tores de révolution. Nous utilisons donc un outil plus fin
-l'entropie polynomiale - pour détecter les métriques de complexité
minimale. Nous montrons que celles-ci sont exactement les métriques
plates.
C'est un travail en collaboration avec Patrick Bernard.

Une mesure $\mu$ est dite physique pour un système s'il existe une partie de
mesure de Lebesgue strictement positive formée de points dont l'orbite
future se répartit asymptotiquement selon $\mu$. De par cette définition, on
s'attend à ce qu'une mesure physique soit détectée sur des simulations
numériques du système.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à cette question pour des
discrétisations spatiales d'applications dilatantes du cercle. Nous
commencerons par étudier une quantité dynamique simple associée à chacune
des discrétisations -- le degré de récurrence -- pour comprendre un peu
mieux le comportement de ces discrétisations en temps court.