The Dvoretzky random covering problem is to find the conditions for which almost surely every point on the circle is covered infinitely many times by a sequence of random intervals with decreasing lengths and random initial points (an i.i.d. sequence of random variables uniformly distributed on the circle). It has drawn a lot of interest of many mathematicians for the last decades and the sizes of the random covering sets have been widely studied. The Hausdorff dimensions and hitting probabilities of random covering sets will be given in the talk. The covering setting also was generalized to many different cases, for example, covering the torus with rectangles or open sets, or even just Lebesgue measure sets, or balls with singular distributions, some recent related results will be surveyed.

Récemment Dujardin a introduit en dynamique complexe la notion de mélangeurs originalement due à Bonatti et Díaz. Dans cet exposé, j'expliquerai que de tels objets apparaissent toujours proche d'une bifurcation d'une application produit en dimension 2 et qu'il en existe en fait de deux types : répulsifs et selles. Les premiers donnent lieu à des ouverts de bifurcations alors que les seconds permettent d'obtenir des attracteurs d'intérieur non vide.

Durant les années 60, il était conjecturé que les difféomorphismes d'une surface vérifiant l'axiome A de Smale étaient denses dans l'ensemble des difféomorphismes de cette surface. L'introduction dans les années 70 du phénomène de Newhouse, à savoir une infinité de puits pour un sous ensemble résiduel d'un ouvert de difféomorphismes, contredit cette conjecture. Depuis, ce résultat a été généralisé à $\mathbb C^{2}$, $\mathbb R^{3}$ ou $\mathbb C^{3}$ par différentes méthodes.

Dans cet exposé, je présenterai une généralisation à $\mathbb C^{3}$ utilisant une variante complexe du blender, qui est un ensemble hyperbolique avec des propriétés fractales très particulières. Après des rappels sur le phénomène de Newhouse, je présenterai le principe du blender et une construction d'un blender complexe. Je montrerai ensuite comment en déduire l'existence d'un ouvert présentant un phénomène de Newhouse dans l'espace des automorphismes polynomiaux de $\mathbb C^{3}$ de degré supérieur à 5.

Les applications de type fini sont une classe d'applications analytiques entre 1-variétés complexes, introduites par Adam Epstein. Cette classe contient notamment les fractions rationnelles sur la sphère de Riemann, et les fonctions entières n'ayant qu'un nombre fini de valeurs singulières. Chacune de ces applications possède un espace de module naturel de dimension finie, et l'on peut définir un espace de Teichmüller paramétrant leur classe de conjugaison quasiconforme. En utilisant le fait que l'espace de Teichmüller s'immerge dans l'espace des modules, on généralisera des résultats de rigidité dus à Avila, Dominguez, Makienko, et Sienra.

We proved that Fuglede's conjecture concerning spectral sets and tilings holds in the field of $p$-adic numbers, i.e. a Borel set of positive and finite Haar measure is a spectral set if and only if it tiles the space by translation, although the conjecture remains open in the field of real numbers. Our study is based on the investigation of a convolution equation of the form $f^* \mu =1$, where $\mu$ is a measure supported by a discrete set and $f$ is a non-negative integrable function. I. J. Schoenberg's result concerning the $p^n$-th roots of unity plays a crucial role. It is a joint work with Ai-Hua Fan, Lingmin Liao and Ruxi Shi

On généralise le développement classique du volume riemannien le long du flot géodésique en terme de la courbure de Ricci au cas sous-riemannien (et plus généralement le long d'une classe de flots Hamiltoniens quadratiques). On introduit un nouvel invariant qui définit l'interaction entre la forme volume et la dynamique, et on montre comment cet invariant, et aussi des invariants de type courbure associés à la dynamique, apparaissent dans le développement asymptotique. Si le temps le permet, on discutera aussi des applications possibles de ce résultat.

Nous construisons des anneaux minimaux complets plongés dans $\widetilde{PSL}_2(\mathbb{R},\tau)$ qui sont asymptotiques à deux surfaces minimales verticales. Ces anneaux sont construits en prenant la limite d'une suite d'anneaux minimaux compacts. L'ingrédient principal de cette démonstration est l'estimé de la courbure des suites d'anneaux minimaux compacts, basé sur le contrôle de l'espace tangent en utilisant les feuilletages minimaux de $\widetilde{PSL}_2(\mathbb{R},\tau)$.