Ce mémoire porte sur l'étude des surfaces minimales et de courbure moyenne constante dans les espaces homogènes de dimension $3$.
Nous établissons les formules de Sym-Bobenko pour les surfaces de courbure moyenne constante $1/ 2$ de $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ et minimales du groupe de Heisenberg, et donnons des exemples de construction de telles immersions par la méthode DPW. Nous montrons également que des propriétés de symétrie passent aux correspondances de type surfaces sœurs et cousines, ce qui entraîne l'existence de graphes entiers de courbure moyenne constante $1/ 2$ à bout vertical dans $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ qui ne sont pas de révolution.
Nous reprenons ensuite l'étude des bouts verticaux d'immersions de courbure moyenne constante $1/ 2$ dans $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$. Nous munissons une famille de graphes entiers d'une structure de variété lisse et en déduisons un analogue pour $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ d'un théorème de A. E. Treibergs pour l'espace de Minkowski. Nous nous intéressons également aux déformations des anneaux de révolution. Une conséquence directe est l'existence d'anneaux immergés qui ne sont pas de révolution. Nous construisons notamment des anneaux dont les bouts n'ont pas le même axe.
Enfin, nous décrivons les invariants de Nœther correspondant aux isométries des espaces homogènes pour les surfaces minimales et de courbure moyenne constante. Nous utilisons le formalisme de la géométrie de contact qui permet l'écriture de formules explicites en toute généralité, et nous étudions l'évolution des formes de Nœther sous l'action des isométries des espaces homogènes. Nous calculons ces invariants dans le cas des anneaux déformés de $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$, et dans celui des anneaux horizontaux du groupe de Heisenberg.