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Analyse des propriétés de stabilité des états de l'équation de Schroedinger avec des non-linéarités concentrées

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En cours depuis: 
01/10/2011
Date: 
18/02/2013 - 10:00
Orateur: 
ORTOLEVA Cecilia
Directeur(s): 
PERELMAN Galina
Résumé: 

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects du comportement en temps longs des solutions de deux équations de Schrödinger non-linéaires en dimension trois dans des régimes perturbatives convenables.

Le premier modèle consiste en une équation de Schrödinger avec une non-linéarité concentrée obtenue en considérant une interaction ponctuelle de force $\alpha$, c'est-à-dire une perturbation singulière du Laplacien décrite par un opérateur autoadjoint $H_{\alpha}$, où la force $\alpha$ dépend de la fonction d'onde : $i\frac{du}{dt}= H_\alpha u$, $\alpha=\alpha(u)$. Il est bien connu que les éléments du domaine d'une interaction ponctuelle en trois dimensions peuvent être décrits comme la somme d'une fonction régulière et d'une fonction ayant une singularité proportionnelle à $|x - x_0|^{-1}$, où $x_0$ est l'emplacement du point d'interaction. Si $q$ est la charge d'un élément du domaine $u$, c'est-à-dire le coefficient de sa partie singulière, alors pour introduire une non-linéarité, on fait dépendre la force $\alpha$ de $u$ selon la loi $\alpha=-\nu|q|^\sigma$, avec $\nu > 0$. Ce modèle est défini comme une équation de Schrödinger non-linéaire focalisant de type puissance avec une non-linéarité concentrée en $x_0$. Notre étude regarde la stabilité orbitale et asymptotique des ondes stationnaires de ce modèle. Nous prouvons l'existence d'ondes stationnaires de la forme $u (t)=e^{i\omega t}\Phi_{\omega}$, qui soient orbitalement stables pour $\sigma \in (0,1)$ et orbitalement instables quand $\sigma \geq 1.$ De plus nous montrons que si $\sigma \in (0,\frac{1}{\sqrt 2})\cup (\frac{1}{\sqrt 2}, 1)$, alors chaque onde stationnaire est asymptotiquement stable, à savoir que pour des données initiales proches d'un état stationnaire dans la norme d'énergie et appartenant à un espace $L^p$ pondéré où les estimations dispersives sont valides, l'affirmation suivante est vérifiée : il existe $\omega_{\infty} > 0$ et $\psi_{\infty} \in L^2(\mathbb{R}^3)$ tel que $\psi_{\infty} = O_{L^2}(t^{-p})$ quand $t \rightarrow +\infty$, tel que $u(t) = e^{i\omega_{\infty} t +il(t)} \Phi_{\omega_{\infty}} +U_t*\psi_{\infty} +r_{\infty}$, où $U_t$ est le propagateur de Schrödinger libre, $p = \frac{5}{4}$, $\frac{1}{4}$ respectivement en fonction de $\sigma \in (0, 1/\sqrt{2})$, $\sigma \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3} +1}{2\sqrt{2}} \right)$, et $l(t)$ est une fonction à croissance logarithmique qui apparaît quand $\sigma \in (\frac{1}{\sqrt{2}}, \sigma^*)$, où $\sigma^* \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3} +1}{2\sqrt{2}} \right]$. Notons que dans ce modèle les non-linéarités pour lesquelles on a la stabilité asymptotique sont sous-critiques dans le sens où quelle que soit la donnée initiale il n'y a pas de solutions explosives.

Quant au deuxième modèle, il s'agit de l'équation de Schrödinger non-linéaire focalisant à énergie critique : $i \frac{du}{dt}=-\Delta u-|u|^4 u$. Pour ce cas, nous prouvons, pour tout $\nu$ et $\alpha_0$ suffisamment petits, l'existence de solutions radiales à énergie finie de la forme $u(t,x)=e^{i\alpha(t)}\lambda^{1/2}(t)W(\lambda(t)x)+e^{i\Delta t}\zeta^*+o_{\dot H^1} (1)$ tout $t\rightarrow +\infty$, où $\alpha(t)=\alpha_0\ln t$, $\lambda(t)=t^{\nu}$, $W(x)=(1+\frac13|x|^2)^{-1/2}$ est l'état stationnaire et $\zeta^*$ est arbitrairement petit en $\dot H^1$.

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