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Etude qualitative des solutions du système de Navier-Stokes incompressible à densité variable

Type: 
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En cours depuis: 
01/09/2014
Date: 
29/09/2017 - 14:00 - 15:00
Salle: 
Salle des thèses
Orateur: 
ZHANG Xin
Directeur(s): 
DANCHIN Raphaël
Résumé: 

Dans cette thèse, on s’intéresse à deux problèmes provenant de l’étude mathématique des fluides incompressibles visqueux : la propagation de la régularité tangentielle et le mouvement d’une surface libre.

La première question concerne plus particulièrement l’étude qualitative de l’évolution de quantités thermodynamiques telles que la température dans l’équation de Boussinesq sans diffusion et la densité dans le système de Navier-Stokes non homogène. Typiquement, on suppose que ces deux quantités sont, à l’instant initial, discontinues le long d’une interface à régularité holdérienne. Comme conséquence de résultats de propagation de régularité tangentielle pour le champ de vitesses, on établit que la régularité des interfaces persiste pour tout temps aussi bien en dimension deux d’espace, qu’en dimension supérieure (avec condition de petitesse). Notre approche suit celle du travail de J.-Y. Chemin dans les années 90 pour le problème des poches de tourbillon dans les fluides incompressibles parfaits. Dans le cas présent, outre cette hypothèse de régularité tangentielle, nous n’avons besoin que d’une régularité critique sur le champ de vitesses. La démonstration repose sur le calcul para-différentiel et les espaces de multiplicateurs.

Dans la dernière partie de la thèse, on considère le problème à frontière libre pour le système de Navier-Stokes incompressible à deux phases. Ce système permet de décrire l’évolution d’un mélange de deux fluides non miscibles tels que l’huile et l’eau par exemple. Différents cas de figure sont étudiés : le cas d’un réservoir borné, d’une goutte ou d’une rivière à profondeur finie. On établit l’existence et l’unicité à temps petit pour ce problème. Notre démonstration repose fortement sur des propriétés de régularité maximale parabolique de type $L_p-L_q$.