L’ensemble de ce travail est dédié à l’étude de certaines propriétés concernant les processus de sauts $d$-dimensionnels $X = (X_t )$ dont le générateur est donné par
$$ L\psi(x) =\frac12\sum_{i,j}a_{i,j} (x)\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial X_i\partial X_j}+g(x)\nabla\psi(x)+\int(\psi(x+c(z,x))-\psi(x))\gamma(z,x)\mu(dz)
$$
où $\mu$ est de masse totale infinie.

Si $\gamma$ ne dépendait pas de $x$, nous nous trouverions dans une situation classique où le processus $X$ pourrait être représenté comme une solution d’une équation stochastique comportant une mesure ponctuelle de Poisson de mesure d’intensité $\gamma(z)\mu(dz)$ ; lorsque $\gamma$ dépend de $x$, on peut s’en représenter l’heuristique en imaginant le processus comme la trajectoire d’une particule, la loi des sauts pouvant alors dépendre de la position de la particule.

Dans la première partie, nous donnons des conditions pour obtenir l’existence et l’unicité de tels processus. Ensuite, nous considérons ce type de processus comme une généralisation des PDMP ; nous montrons qu’ils peuvent être vus comme une limite d’une suite $(X_n (t))$ de PDMP standards pour lesquels l’intensité des sauts tend vers l’infini quand $n$ tend vers l’infini, suivant deux régimes : un lent et un rapide qui, en supposant que les processus en question sont centrés et normalisés convenablement, produit une composante de diffusion à la limite.

Finalement, on prouve la récurrence au sens de Harris de $X$ en utilisant un schéma regénératif entièrement basé sur les sauts du processus. De plus, nous dégageons des conditions explicites par rapport aux coefficients du processus qui nous permettent de contrôler la vitesse de convergence vers l’équilibre en terme d’inégalités de déviation pour des fonctionnelles additives intégrables.

Dans la seconde partie, nous considérons à nouveau le même type de processus $X = (X_t (x))$ partant du point $x$. Utilisant une approche basé sur un Calcul de Malliavin fini-dimensionnel, nous étudions la régularité jointe de ce processus dans le sens suivant : on fixe $q\ge 1$ et $p > 1$, $K$ un ensemble compact de $\mathbb R^d$ , et nous donnons des conditions suffisantes pour avoir $P(X_t (x))\in dy) = p_t (x, y) dy$ avec $(x, y) \mapsto p_t (x, y)$ appartenant à $W^{q,p} (K \times \mathbb R^d )$.