En 1949, C. Loewner a démontré dans un travail non publié l'inégalité systolique optimale du tore $\mathbb T$ reliant l'aire au carré de la systole. Par la systole on désigne la longueur du plus court lacet non contractile de $\mathbb T$. De plus, l'égalité est atteinte si et seulement si le tore est plat hexagonal. Ce résultat a donné naissance à la géométrie systolique. Dans cette thèse, nous étudions des inégalités de type systolique portant sur les longueurs minimales de différentes courbes et pas seulement la systole.

Dans un premier temps, nous démontrons trois inégalités géométriques optimales conformes sur la bouteille de Klein reliant l'aire au produit des longueurs des plus courts lacets noncontractiles dans des classes d'homotopie libres différentes. Pour chaque classe conforme, nous décrivons la métrique extrémale réalisant le cas d'égalité.

Nous établissons ensuite des inégalités géométriques optimales sur le ruban de Mobius muni d'une métrique de Finsler. Ces inégalités géométriques relient la systole et la hauteur du ruban de Mobius à son volume de Holmes-Thompson. Nous en déduisons une inégalité systolique optimale sur la bouteille de Klein munie d'une métrique de Finsler avec des symétries. Nous décrivons également une famille de métriques extrémales dans les deux cas.

Dans le troisième travail, nous démontrons une inégalité systolique critique sur la surface de genre deux. Plus précisément, il est connu que la surface de genre deux admet une métrique Riemannienne plate à singularités coniques qui est extrémale parmi les métriques à courbure nonpositive pour l'inégalité systolique. Nous montrons que cette métrique est en fait critique pour des variations lentes de métriques, cette fois-ci sans hypothèse de courbure, pour un autre problème systolique portant sur les longueurs des plus courts lacets non contractiles dans certaines classes d'homotopie libres données. Ces classes d'homotopie correspondent aux lacets systoliques et deux-systoliques de la surface extrémale.