Soit $(M,g)$ une variété riemannienne à bord dont la courbure (de Ricci ou sectionnelle) est bornée (inférieurement ou supérieurement). Dans cet exposé on aborde le problème de l'existence d'une extension riemannienne de $(M,g)$ : est-il possible de réaliser $(M,g)$ en tant que domaine d'une variété $(N,h)$ "plus grande", complète et sans bord, tout en préservant la même borne sur la courbure ?

On présentera trois types de résultats :
(1) un théorème général d'existence d'une extension complète lorsqu'on n'impose aucune contrainte de courbure ;
(2) des obstructions topologiques à l'existence d'une extension lorsqu'on demande courbure sectionnelle ou de Ricci bornée ;
(3) quelques résultats d'existence, notamment sous une hypothèse de convexité du bord.
Ceci est un travail en collaboration avec Stefano Pigola.