Grâce à Smale, on sait depuis plus de 50 ans qu'on peut
retourner la sphère par des immersions, c'est à dire qu'il existe dans
l'ensemble des immersions de la sphère dans R3, un chemin qui relie
la sphère plongée à la sphère plongée antipodalement, autrement dit :
avec les faces interne et externe échangées. Ce serait bien sûr
impossible avec seulement des plongements: il faut que des
morceaux se traversent et se nouent, sans toutefois jamais créer de
pli ou de courbure infinie.

C'était une surprise et contredisait l'intuition ambiante d'alors.
Ce n'est que quand des chemins explicites ont été trouvés puis
dessinés que le résultat a été largement accepté. On appelle éversion
un tel processus. Depuis, plusieurs variantes ont été découvertes, et
plusieurs animations ont été réalisées et continuent de l'être encore
aujourd'hui. J'en montrerai quelques-unes.

Inspiré par le film du Geometry Center, je donnerai ensuite une façon
vraisemblablement nouvelle de réaliser une éversion de la sphère, que
j'espère voir posséder des vertus de simplicité.