C'est bien connu que l'entropie de la famille quadratique réelle est continue (Misiurewicz-Szlenk), monotone (Milnor-Thurston, Douady-Hubbard-Sulivan) et localement constante sur un ouvert dense de paramètres hyperboliques (Graczyk-Swiatek, Lyubich). L'ensemble de paramètres non-hyperboliques est de mesure positive (Jakobson, Benedicks-Carleson). Guckenheimer a montré que l'entropie est uniformément Hölder continue.

Nous (Dobbs-Mihalache) trouvons la valeur de l'exposant de Hölder de l'entropie $h$ en presque tout paramètre $a$. On a $$\mathrm{Höl}(h, a)=\frac{h(a)}{\lambda(a)},$$
où $\lambda(a)$ est l'exposant de Lyapunov de l'orbite critique (bien défini d'après Avila-Moreira).

En utilisant des résultats récents (Dobbs-Todd) sur la dépendance du paramètre des mesures invariantes, nous montrons que pour presque tout paramètre $a$, $$h'(a)=0.$$
En dehors d'un voisinage arbitraire de $-2$ (pointe de l'ensemble de Mandelbrot), presque tout paramètre est envoyé par $h$ dans un ensemble de dimension de Hausdorff strictement inférieure à $1$. En dehors d'un voisinage arbitraire de $\log 2 = h(-2)$, presque toute valeur de l'entropie provient d'un ensemble de paramètres de dimension de Hausdorff strictement inférieure à $1$.