PROBABILITES ET STATISTIQUE
Amine Asselah (Prof), Vlad Bally (Prof), Nicolas Fournier (Prof), Marc Hoffmann (Prof), Damien Lamberton (Prof), Florence Merlevède (Prof), Julien Brémont (MdC), Emmanuelle Clément (MdC), Arnaud Gloter (MdC), Dan Goreac (MdC), Thierry Jeantheau (MdC), Magdalena Kobylanski (MdC), Eva Löcherbach (MdC), Miguel Martinez (MdC), Laurent Nguyen-Ngoc (MdC), Cyril Odasso (MdC), Jacques Printems (MdC-HDR), Pierre Vandekerkhove (MdC- HDR), Marguerite Zani (MdC), Benoît Jottreau (Doct), Marouen Messaoud (Doct), Séverine Cholewa (Doct), El Hadj Aly Dia (Doct), Mohammed Mikou (Doct), Sidi Mohamed Ould Aly (Doct), Stefano de Marco (Doct) et Laurent Duvernet (Doct).
Les projets communs avec l'équipe d'analyse multi-fractale sont décrits plus précisément par l'équipe multifractale.
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Systèmes de particules en interaction
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Mesures quasi-stationnaires
Soit une matrice de transition Q sur N, avec 0 comme état absorbant. On considère N particules qui évoluent suivant Q, indépendamment tant qu'elles n'ont pas touché 0. Lorsqu'une particule touche 0, elle est replacée sur une des positions des N-1 particules restantes, uniformément. La densité de particules devrait converger vers la mesure quasi-stationnaire de Q conditionnée à ne pas toucher 0. En collaboration avec Pablo Ferrari (Université de Sao Paolo, Brésil), A. Asselah veut obtenir l'existence de telles mesures quasi-stationnaires.
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Chaînes de Markov à mémoire variable
En collaboration avec Antonio Galves, E. Löcherbach s'intéresse aux chaînes de Markov de mémoire variable, introduites par Rissanen (1983). Ce sont des chaînes d'ordre infini dont la longueur de mémoire dépend du passé. La partie du passé dont on a besoin pour prédire le prochain symbole s'appelle contexte. Le processus est déterminé par l'arbre des contextes et l'ensemble des transitions de probabilité associé. L'algorithme Context estime l'arbre de contexte et les probabilités associées à partir d'un ensemble de données. E. Löcherbach souhaite obtenir des résultats sur la consistance des estimateurs.
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Systèmes de particules en interaction
En collaboration avec Antonio Galves, E. Löcherbach envisage d'étudier des systèmes de particules avec une longueur d'interaction variable. Plus précisément, elle considère un système de particules sur Z. Chaque particule change de valeur aux instants de saut d'un processus de Poisson. A l'instant du saut, elle actualise sa valeur selon une probabilité de transition qui dépend d'un nombre aléatoire de particules à gauche et à droite de sa position. Une des premières questions qui se posent est l'existence d'un tel système de particules (les domaines d'interaction sont-ils finis presque-sûrement?) E. Löcherbach propose ensuite de traiter le problème de l'existence d'une mesure invariante et de la simulation parfaite. Finalement, il sera également intéressant de proposer un estimateur du domaine d'interaction d'une particule dans une position donnée, avec des applications en biologie (protéines).
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Coalescence
Le problème ouvert principal concernant l'équation de coagulation de Smoluchowski est l'étude de son comportement en temps grand. Les physiciens ont conjecturé depuis plusieurs décennies que pour des taux de coalescence homogènes (les plus utilisés en physique), il existe une unique solution auto-similaire, et toute solution correctement renormalisée converge vers cette solution auto-similaire. N. Fournier a déjà démontré l'existence de ces solutions avec P. Laurençot, mais l'unicité reste ouverte. Un problème plus ou moins équivalent apparaît dans l'étude de la frontière d'entrée du coalescent stochastique.
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Méthodes de Monte-Carlo pour certaines EDP
Les résultats d'unicité de N. Fournier et ses collaborateurs (pour les équations de Smoluchowski, Boltzmann, et Fokker-Planck-Landau), font intervenir des distances de type Wasserstein. N. Fournier espère démontrer la convergence de systèmes de particules stochastiques en interaction vers les solutions de ces équations, et obtenir des vitesses de convergence. L'objectif est bien sûr de justifier rigoureusement des méthodes de résolution numérique de type Monte-Carlo pour ces équations.
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Avalanches et feux de forêts
Les résultats de X. Bressaud et N. Fournier sur les mesures invariantes de processus d'avalanche concernent exclusivement le cas unidimensionnel. Dans le cas de la dimension 2, même l'unicité (en loi) du processus est largement ouverte. Nous travaillons sur ce sujet, ainsi que sur une généralisation du modèle concernant les feux de forêts.
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Milieux aléatoires et thématiques connexes
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Auto-intersection de marches simples
A. Asselah souhaite poursuivre ses recherches sur les auto-intersections d'une marche simple. Le grand mystère demeure sur la stratégie optimale en dimension 4 et de nombreuses questions restent ouvertes : amélioration des estimations connues en dimension 3, grandes déviations en dimensions 3 et 4, déviations modérées pour la promenade aléatoire en paysage aléatoire ?
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Marches en milieux aléatoire
Dans l'étude des marches aléatoires en milieu aléatoire unidimensionnelles, l'objectif de J. Brémont est d'obtenir une classification exhaustive du comportement d'une marche aléatoire à pas bornés en environnement aléatoire stationnaire ergodique. Une collaboration a démarré avec A. Roitershtein (University of British Columbia-Canada) sur l'extension des travaux de Kesten-Kozlov-Spitzer et de MayerWolf-Roitershtein-Zeitouni sur les cas de convergence vers des lois stables. J. Brémont compte en outre poursuivre ses travaux sur les marches aléatoires en milieu aléatoire dans le cadre de la dimension 2, en lien avec les arbres couvrants et le problème de Dirichlet.
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Calcul de Malliavin et thématiques connexes
N. Fournier, J. Printems et V. Bally travaillent actuellement à l'existence de densité pour des processus de diffusion (avec ou sans sauts). Ils sont en train d'élaborer une nouvelle méthode, très robuste et très simple. Par exemple, cela leur permet d'obtenir l'existence de densités pour une diffusion brownienne en dimension 1, dont le coefficient de diffusion est positif et hölderien. Cette méthode s'étend facilement à certaines EDPS, à certains processus à sauts,... Pour l'instant, la méthode ne marche qu'en dimension 1. Ils souhaitent explorer les possibilités de cette méthode, en particulier pour tenter d'obtenir aussi la régularité des densités, et pour sortir du cadre uni-dimensionnel.
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Equations aux Dérivées Partielles Stochastiques
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Convergence à l'équilibre, propriétés de mélange
C. Odasso souhaite montrer que le critère qu'il a développé sur la convergence à l'équilibre d'EDPS avec bruits browniens s'applique toujours si le bruit est de type Lévy. Cette généralisation s'appuie sur les travaux de thèse de N. Fournier. Pour l'instant, le résultat ne fonctionne que pour des équations de type réaction-diffusion unidimensionnelles.
En collaboration avec J. C. Mattingly (de l'université de Duke), C. Odasso s'intéresse aux conditions d'hypoellipticité de type Hörmander d'EDPS telles que l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) et au fait qu'il semble que cela induise le caractère polynomialement mélangeant de NLS.
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Unicité en loi
Dans le prolongement des travaux de C. Odasso avec DaPrato et Debussche sur les équations de Navier-Stokes 3D, la question de l'existence globale de solutions fortes et de l'unicité trajectorielle des solutions faibles semblent actuellement inaccessibles. C. Odasso et J. Printems veulent travailler sur un problème plus simple et tout à fait pertinent : la question de l'unicité en loi des solutions lorsque l'équation est excitée par un bruit très blanc, mais tout de même suffisamment régulier.
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Analyse numérique
En collaboration avec J. C. Mattingly et M. Hairer (Université de Warwick-Grande Bretagne), C. Odasso souhaite prouver l'existence d'un trou spectral d'EDPS dans le cas de bruits multiplicatifs ou vérifiant certaines conditions d'hypoellipticité. En utilisant ces propriétés il espère aussi fabriquer des schémas numériques convergeant en temps long, et ce, à faible coût. C. Odasso et J. Printems veulent mettre au point et implémenter des schémas numériques pour ce problème.
Avec E. Faou (de l'INRIA de Rennes) et T. Lelièvre, C. Odasso travaille sur des schémas d'intégration géométriques stochastiques. Il s'agit de créer des schémas qui conservent les propriétés qualitatives des vraies solutions (conservation d'invariants, ...).
En collaboration avec A. Debussche, (ENS Cachan-Bretagne), C. Odasso et J. Printems souhaitent généraliser leurs résultats sur les approximations en loi de la solution d'EDPS non linéaires.
En collaboration avec Arnaud Debussche, J. Printems s'intéresse à la simulation numérique de l'équation de Korteweg-de Vries (sous-critique) stochastique avec bruit blanc multiplicatif et conditions aux bords périodiques. Elle est basée sur la décomposition en chaos de Wiener du bruit. C'est une piste numérique intéressante car cette approche permet de dissocier les effets de discrétisation spatiale du bruit proprement dit par rapport à la partie déterministe. J. Printems travaille aussi à l'approximation semi-discrète (en temps) des lois des solutions de l'équation de Navier-Stokes stochastique en dimension 2 avec bruit additif, par un schéma numérique de type Euler implicite. Un premier travail a permis de dégager les taux de convergence pour des équations paraboliques linéaires avec bruit additif des solutions de schémas d'Euler implicites avec discrétisation spatiale par éléments finis. Dans le cas de l'équation de la chaleur stochastique en dimension 1, les ordres d'approximation en temps et en espace des lois des solutions sont respectivement 1/2- et 1-, c'est-à-dire le double de ce qui ce passe trajectoriellement. La méthode reste celle dite de l'EDP et les techniques utilisées sont très liées ici à l'aspect linéaire et additif du bruit. Dans le cas non linéaire, la difficulté réside dans le contrôle de la partie stochastique de l'erreur. A. Debussche propose une solution dans le cas de coefficients globalement Lipschitziens par le biais du calcul de Malliavin mais ne peut s'affranchir d'une condition technique supplémentaire sur le terme de diffusion. J. Printems propose ici de généraliser ce résultat au cas d'une non-linéarité non localement Lipschitz avec un bruit additif.
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Probabilités numériques et mathématiques financières
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Modélisation de la corrélation et risque de crédit
Dans le cadre du pôle de compétitivité Finance Innovation, l'équipe participe, à partir de septembre 2008, au projet Credinext, qui associe des laboratoires de recherche et des entreprises sur une thématique en relation avec les produits dérivés de crédit et les problèmes de corrélation. Le groupe de Marne-la-Vallée s'intéressera plus particulièrement aux questions de modélisation en grande dimension, notamment aux modèles à volatilité stochastique multi-dimensionnels.
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Calcul de Malliavin pour l'évaluation des sensibilités
Le calcul des sensibilités des prix par rapport à des paramètres est un enjeu important en ingénierie financière. Le calcul de Malliavin peut être utilisé pour calculer efficacement ces sensibilités (les grecques dans le jargon des praticiens). Dans certains modèles cependant, en particulier les modèles dits en racine carrée, la présence d'une singularité rend délicate l'utilisation de ces techniques. V. Bally s'attache à développer un calcul de Malliavin local pour traiter ce type de situations, tant dans des modèles de diffusions que dans des modèles avec sauts. Une thèse a été engagée sur cette thématique.
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Processus de Lévy et calcul d'options
L'utilisation de processus de Lévy généraux en finance s'est considérablement développée dans les dix dernières années et pose de nombreux problèmes théoriques et numériques. Les projets de l'équipe dans cette direction concernent les options américaines (propriétés qualitatives des fonctions de prix, frontières d'exercice etc.), les options à barrière ou sur maximum, les modèles multidimensionnels.
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Modélisation financière
L. Nguyen-Ngoc propose l'étude du problème de l'information faible dans un modèle à volatilité stochastique. C'est le cas typique d'un marché incomplet, il reste relativement simple et il mérite d'être exploré plus en détails. Il souhaite en outre poursuivre l'étude de la pénalisation des processus de Lévy, par des fonctionnelles plus générales.
La modélisation de la variance est aussi une thématique qui sera explorée dans les années à venir. La thèse de S. M. Ould Aly, qui a une activité de doctorant conseil auprès d'une équipe de Natixis, a pour but de dégager un modèle efficace permettant de traiter simultanément les options sur un actif risqué et les produits dérivés sur la variance réalisée de cet actif.
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Quantification optimale
J. Printems, en collaboration avec G. Pagès (Paris 6), souhaite étudier la méthode d'extrapolation en quantification. Bien qu'on ne puisse pas comparer directement une méthode de Monte Carlo, par nature aléatoire, et une méthode déterministe comme la quantification, on observe en pratique une taille critique au-delà de laquelle une méthode probabiliste est préférable. Il existe une méthode pour repousser cette taille critique, au moins pour des fonctionnelles régulières : c'est une méthode d'extrapolation, dite de Romberg, qui à partir d'un développement limité de l'erreur permet d'annuler des termes du développement par des combinaisons linéaires adéquates.
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Algorithmes stochastiques
P. Vandekerkhove envisage l'étude de la vitesse de convergence de l'algorithme du bandit à deux bras dans un cadre ergodique.
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Théorèmes limites, Statistique
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Estimation de taux de compétition
N. Fournier et E. Löcherbach s'intéressent à l'estimation du taux de compétition dans une population d'individus immobiles (des plantes). On suppose que quand une plante naît, elle pousse à une certaine distance (aléatoire) de sa mère. Les individus meurent soit de mort naturelle, soit à cause d'une trop forte présence dans son environnement proche. Une des difficultés est de distinguer les morts naturelles des morts par compétitions, puisque cette distinction n'est pas directement observable.
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Estimation non-paramétrique pour des diffusions multidimensionnelles
E. Löcherbach, en collaboration avec F. Comte et V. Genon-Catalot (Paris 5) souhaite appliquer les résultats de son travail avec D. Loukianova sur la méthode de scission de Nummelin en temps continu, à l'estimation du noyau de la fonction de dérive b d'une diffusion récurrente multi-dimensionnelle. Dans un modèle régulier, elle propose de mettre en oeuvre la méthode de Lepski pour estimer b de manière doublement adaptative : par rapport à la régularité de la fonction à estimer mais aussi par rapport au type de récurrence.
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Diffusions récurrentes multidimensionnelles
En collaboration avec V. Genon-Catalot (Paris 5), E. Löcherbach propose de caractériser les diffusions récurrentes régulières. Elle propose également d'entreprendre une étude de la mesure invariante dans ce cas.
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Inégalités maximales
Avec J. Dedecker (Université Paris 6) et S. Gouëzel (Université Rennes I), F. Merlevède projette d'utiliser des techniques d'approximations par martingales pour établir de nouvelles inégalités maximales suffisamment performantes pour obtenir des approximations fortes sous des conditions de dépendance plus faible que celles imposées jusqu'alors dans ce contexte. On pourrait alors espérer obtenir des résultats nouveaux concernant des classes de fonctions de certaines transformations intermittentes et leurs chaînes de Markov associées.
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Vitesses de convergence dans le théorème limite central
Dans le cadre des vitesses de convergence dans le théorème limite central pour les sommes partielles de variables aléatoires, avec J. Dedecker (Université Paris 6), F. Merlevède envisage ; pour la distance de Wasserstein d'ordre 1, d'établir la vitesse racine de n sous de nouvelles conditions de dépendance faible et lorsque que les variables n'admettent qu'un moment d'ordre 3. Ce genre de résultat aurait des applications directes pour certaines classes de fonctions de transformations uniformément dilatantes de l'intervalle.
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Grandes déviations pour des temps locaux
En collaboration avec D. Korshunov (Université d'Etat de Novossibirsk), A. Asselah et M. Zani envisagent de déterminer un principe de grandes déviations pour des temps locaux d'intersection de marches aléatoires simples en dimension 3. Ils observent une identité entre les temps locaux et le temps local d'auto-intersection de la marche. Ils chercheront à déterminer un principe de grandes déviations pour la famille des temps locaux de la marche, en vue d'applications au temps local d'auto-intersection.
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Grandes déviations et efficacité asymptotique de tests
En collaboration avec A. Chirina (Université de St-Petersbourg), qui est en post-doc (bourse Ile-de-France) dans notre laboratoire depuis mars 2007, M. Zani travaille sur les grandes déviations et l'efficacité asymptotique de tests concernant l'estimation des paramètres d'une loi normale. Ce travail fait suite aux travaux déjà effectués par A. Chirina dans la cadre de sa thèse.
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Déviations modérées et inégalités exponentielles
Dans le cas où le processus est géométriquement fortement mélangeant (dans le sens de Rosenblatt) l'inégalité exponentielle la plus performante à ce jour est celle établie par Rio (1992) qui par rapport à l'inégalité de Bernstein dans le cas iid fait perdre une puissance de t si l'on regarde la probabilité de déviation par rapport à t. La technique utilisée par Rio est une technique de couplage. Avec E. Rio (Université de Versailles) et M. Peligrad (Université de Cincinnati), F. Merlevède envisage d'utiliser une technique de décorrélation sur des blocs bien choisis, ce qui devrait permettre une amélioration de l'inégalité exponentielle obtenue par Rio et ainsi limiter la perte par rapport au cas iid. Ce genre d'inégalités que l'on pourrait appeler de type Bernstein pourrait permettre d'améliorer des résultats de déviations modérées pour certaines classes de processus faiblement dépendants. Par ailleurs dans le cadre des déviations modérées, F. Merlevède envisage également d'étudier en collaboration avec M. Peligrad, sous quelles conditions on peut obtenir le principe de déviations modérées pour le processus associé aux sommes partielles d'un processus linéaire dont les innovations satisfont des conditions de dépendance faible et dont les coefficients sont simplement supposés être de carré sommables.
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Petites déviations
Avec V. Vysotsky (Université d'état de Saint-Petersbourg), post-doc invité un mois sur une bourse « jeunes chercheurs russes » du département MPPU du CNRS, M. Zani projette d'étudier les petites déviations pour des marches aléatoires intégrées, en généralisant les résultats de McKean et Sinai.
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Approximation de complexité pour des champs aléatoires
En collaboration avec M. Lifshit (Université d'Etat de St-Petersbourg), M. Zani veut étendre les travaux déjà menés sur l'approximation de complexité pour les champs aléatoires. Tout en considérant le même champ aléatoire additif, elle souhaite définir une approximation non plus en moyenne, mais en probabilité.
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Classification des processus de diffusion de dimension 2
Avec D. Bakry (Univ. Toulouse 3) et N. Demni (post-doc Bielefeld), M. Zani souhaite classifier les processus de diffusions en dimension 2. Pour généraliser les travaux de Bakry-Mazet, elle considérera des diffusions en dimension 2 dont l'opérateur est décomposable sur une base de polynômes orthogonaux de 2 variables.
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Statistique des processus de diffusion et applications en finance
A. Gloter et M. Hoffmann identifient plusieurs axes de recherche en finance statistique, motivés par les applications en salle de marché : les indicateurs de régularité, la représentation et le lissage du bruit de microstructure pour des flux de données haute fréquence (collaboration avec avec P. Mykland et L. Zhang), la prévision et l'estimation multi-échelle de la volatilité (et co-volatilité), la caractérisation des effets dits «lead-lag» entre plusieurs actifs (collaboration avec N. Yoshida).
A. Gloter et T. Jeantheau envisagent l'étude de modèles COGARCH introduits par C. Kluppelberg en 2004.
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Problèmes inverses en statistique non-paramétrique
M. Hoffmann poursuit ses collaborations sur cette thématique avec D. Picard, G. Kerkyacharian et S. Delattre (Paris 7), (analyse des méthodes WaveVD avec erreur dans l'opérateur), et avec M. Doumic, P. Reynaud-Bouret et V. Rivoirard (analyse de problème inverses avec données initiales manquantes pour la modélisation de phénomènes biologiques).
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Statistique des modèles multifractals
Pour les cascades multiplicatives en asymptotiques mixtes, L. Duvernet étudie la généralisation des résultats de Bacry, Gloter, Hoffmann et Muzy aux modèles continus dits MRW log-infiniment divisibles dans le cadre de sa thèse.
PROBABILITES ET STATISTIQUE
Amine Asselah (Prof), Vlad Bally (Prof), Nicolas Fournier (Prof), Marc Hoffmann (Prof), Damien Lamberton (Prof), Florence Merlevède (Prof), Julien Brémont (MdC), Emmanuelle Clément (MdC), Arnaud Gloter (MdC), Dan Goreac (MdC), Thierry Jeantheau (MdC), Magdalena Kobylanski (MdC), Eva Löcherbach (MdC), Miguel Martinez (MdC), Laurent Nguyen-Ngoc (MdC), Cyril Odasso (MdC), Jacques Printems (MdC-HDR), Pierre Vandekerkhove (MdC- HDR), Marguerite Zani (MdC), Benoît Jottreau (Doct), Marouen Messaoud (Doct), Séverine Cholewa (Doct), El Hadj Aly Dia (Doct), Mohammed Mikou (Doct), Sidi Mohamed Ould Aly (Doct), Stefano de Marco (Doct) et Laurent Duvernet (Doct).Les projets communs avec l'équipe d'analyse multi-fractale sont décrits plus précisément par l'équipe multifractale.
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Systèmes de particules en interaction
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Mesures quasi-stationnaires
Soit une matrice de transition Q sur N, avec 0 comme état absorbant. On considère N particules qui évoluent suivant Q, indépendamment tant qu'elles n'ont pas touché 0. Lorsqu'une particule touche 0, elle est replacée sur une des positions des N-1 particules restantes, uniformément. La densité de particules devrait converger vers la mesure quasi-stationnaire de Q conditionnée à ne pas toucher 0. En collaboration avec Pablo Ferrari (Université de Sao Paolo, Brésil), A. Asselah veut obtenir l'existence de telles mesures quasi-stationnaires.
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Chaînes de Markov à mémoire variable
En collaboration avec Antonio Galves, E. Löcherbach s'intéresse aux chaînes de Markov de mémoire variable, introduites par Rissanen (1983). Ce sont des chaînes d'ordre infini dont la longueur de mémoire dépend du passé. La partie du passé dont on a besoin pour prédire le prochain symbole s'appelle contexte. Le processus est déterminé par l'arbre des contextes et l'ensemble des transitions de probabilité associé. L'algorithme Context estime l'arbre de contexte et les probabilités associées à partir d'un ensemble de données. E. Löcherbach souhaite obtenir des résultats sur la consistance des estimateurs.
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Systèmes de particules en interaction
En collaboration avec Antonio Galves, E. Löcherbach envisage d'étudier des systèmes de particules avec une longueur d'interaction variable. Plus précisément, elle considère un système de particules sur Z. Chaque particule change de valeur aux instants de saut d'un processus de Poisson. A l'instant du saut, elle actualise sa valeur selon une probabilité de transition qui dépend d'un nombre aléatoire de particules à gauche et à droite de sa position. Une des premières questions qui se posent est l'existence d'un tel système de particules (les domaines d'interaction sont-ils finis presque-sûrement?) E. Löcherbach propose ensuite de traiter le problème de l'existence d'une mesure invariante et de la simulation parfaite. Finalement, il sera également intéressant de proposer un estimateur du domaine d'interaction d'une particule dans une position donnée, avec des applications en biologie (protéines).
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Coalescence
Le problème ouvert principal concernant l'équation de coagulation de Smoluchowski est l'étude de son comportement en temps grand. Les physiciens ont conjecturé depuis plusieurs décennies que pour des taux de coalescence homogènes (les plus utilisés en physique), il existe une unique solution auto-similaire, et toute solution correctement renormalisée converge vers cette solution auto-similaire. N. Fournier a déjà démontré l'existence de ces solutions avec P. Laurençot, mais l'unicité reste ouverte. Un problème plus ou moins équivalent apparaît dans l'étude de la frontière d'entrée du coalescent stochastique.
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Méthodes de Monte-Carlo pour certaines EDP
Les résultats d'unicité de N. Fournier et ses collaborateurs (pour les équations de Smoluchowski, Boltzmann, et Fokker-Planck-Landau), font intervenir des distances de type Wasserstein. N. Fournier espère démontrer la convergence de systèmes de particules stochastiques en interaction vers les solutions de ces équations, et obtenir des vitesses de convergence. L'objectif est bien sûr de justifier rigoureusement des méthodes de résolution numérique de type Monte-Carlo pour ces équations.
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Avalanches et feux de forêts
Les résultats de X. Bressaud et N. Fournier sur les mesures invariantes de processus d'avalanche concernent exclusivement le cas unidimensionnel. Dans le cas de la dimension 2, même l'unicité (en loi) du processus est largement ouverte. Nous travaillons sur ce sujet, ainsi que sur une généralisation du modèle concernant les feux de forêts.
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Milieux aléatoires et thématiques connexes
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Auto-intersection de marches simples
A. Asselah souhaite poursuivre ses recherches sur les auto-intersections d'une marche simple. Le grand mystère demeure sur la stratégie optimale en dimension 4 et de nombreuses questions restent ouvertes : amélioration des estimations connues en dimension 3, grandes déviations en dimensions 3 et 4, déviations modérées pour la promenade aléatoire en paysage aléatoire ?
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Marches en milieux aléatoire
Dans l'étude des marches aléatoires en milieu aléatoire unidimensionnelles, l'objectif de J. Brémont est d'obtenir une classification exhaustive du comportement d'une marche aléatoire à pas bornés en environnement aléatoire stationnaire ergodique. Une collaboration a démarré avec A. Roitershtein (University of British Columbia-Canada) sur l'extension des travaux de Kesten-Kozlov-Spitzer et de MayerWolf-Roitershtein-Zeitouni sur les cas de convergence vers des lois stables. J. Brémont compte en outre poursuivre ses travaux sur les marches aléatoires en milieu aléatoire dans le cadre de la dimension 2, en lien avec les arbres couvrants et le problème de Dirichlet.
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Calcul de Malliavin et thématiques connexes
N. Fournier, J. Printems et V. Bally travaillent actuellement à l'existence de densité pour des processus de diffusion (avec ou sans sauts). Ils sont en train d'élaborer une nouvelle méthode, très robuste et très simple. Par exemple, cela leur permet d'obtenir l'existence de densités pour une diffusion brownienne en dimension 1, dont le coefficient de diffusion est positif et hölderien. Cette méthode s'étend facilement à certaines EDPS, à certains processus à sauts,... Pour l'instant, la méthode ne marche qu'en dimension 1. Ils souhaitent explorer les possibilités de cette méthode, en particulier pour tenter d'obtenir aussi la régularité des densités, et pour sortir du cadre uni-dimensionnel.
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Equations aux Dérivées Partielles Stochastiques
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Convergence à l'équilibre, propriétés de mélange
C. Odasso souhaite montrer que le critère qu'il a développé sur la convergence à l'équilibre d'EDPS avec bruits browniens s'applique toujours si le bruit est de type Lévy. Cette généralisation s'appuie sur les travaux de thèse de N. Fournier. Pour l'instant, le résultat ne fonctionne que pour des équations de type réaction-diffusion unidimensionnelles. En collaboration avec J. C. Mattingly (de l'université de Duke), C. Odasso s'intéresse aux conditions d'hypoellipticité de type Hörmander d'EDPS telles que l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) et au fait qu'il semble que cela induise le caractère polynomialement mélangeant de NLS.
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Unicité en loi
Dans le prolongement des travaux de C. Odasso avec DaPrato et Debussche sur les équations de Navier-Stokes 3D, la question de l'existence globale de solutions fortes et de l'unicité trajectorielle des solutions faibles semblent actuellement inaccessibles. C. Odasso et J. Printems veulent travailler sur un problème plus simple et tout à fait pertinent : la question de l'unicité en loi des solutions lorsque l'équation est excitée par un bruit très blanc, mais tout de même suffisamment régulier.
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Analyse numérique
En collaboration avec J. C. Mattingly et M. Hairer (Université de Warwick-Grande Bretagne), C. Odasso souhaite prouver l'existence d'un trou spectral d'EDPS dans le cas de bruits multiplicatifs ou vérifiant certaines conditions d'hypoellipticité. En utilisant ces propriétés il espère aussi fabriquer des schémas numériques convergeant en temps long, et ce, à faible coût. C. Odasso et J. Printems veulent mettre au point et implémenter des schémas numériques pour ce problème.
Avec E. Faou (de l'INRIA de Rennes) et T. Lelièvre, C. Odasso travaille sur des schémas d'intégration géométriques stochastiques. Il s'agit de créer des schémas qui conservent les propriétés qualitatives des vraies solutions (conservation d'invariants, ...). En collaboration avec A. Debussche, (ENS Cachan-Bretagne), C. Odasso et J. Printems souhaitent généraliser leurs résultats sur les approximations en loi de la solution d'EDPS non linéaires.
En collaboration avec Arnaud Debussche, J. Printems s'intéresse à la simulation numérique de l'équation de Korteweg-de Vries (sous-critique) stochastique avec bruit blanc multiplicatif et conditions aux bords périodiques. Elle est basée sur la décomposition en chaos de Wiener du bruit. C'est une piste numérique intéressante car cette approche permet de dissocier les effets de discrétisation spatiale du bruit proprement dit par rapport à la partie déterministe. J. Printems travaille aussi à l'approximation semi-discrète (en temps) des lois des solutions de l'équation de Navier-Stokes stochastique en dimension 2 avec bruit additif, par un schéma numérique de type Euler implicite. Un premier travail a permis de dégager les taux de convergence pour des équations paraboliques linéaires avec bruit additif des solutions de schémas d'Euler implicites avec discrétisation spatiale par éléments finis. Dans le cas de l'équation de la chaleur stochastique en dimension 1, les ordres d'approximation en temps et en espace des lois des solutions sont respectivement 1/2- et 1-, c'est-à-dire le double de ce qui ce passe trajectoriellement. La méthode reste celle dite de l'EDP et les techniques utilisées sont très liées ici à l'aspect linéaire et additif du bruit. Dans le cas non linéaire, la difficulté réside dans le contrôle de la partie stochastique de l'erreur. A. Debussche propose une solution dans le cas de coefficients globalement Lipschitziens par le biais du calcul de Malliavin mais ne peut s'affranchir d'une condition technique supplémentaire sur le terme de diffusion. J. Printems propose ici de généraliser ce résultat au cas d'une non-linéarité non localement Lipschitz avec un bruit additif.
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Probabilités numériques et mathématiques financières
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Modélisation de la corrélation et risque de crédit
Dans le cadre du pôle de compétitivité Finance Innovation, l'équipe participe, à partir de septembre 2008, au projet Credinext, qui associe des laboratoires de recherche et des entreprises sur une thématique en relation avec les produits dérivés de crédit et les problèmes de corrélation. Le groupe de Marne-la-Vallée s'intéressera plus particulièrement aux questions de modélisation en grande dimension, notamment aux modèles à volatilité stochastique multi-dimensionnels.
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Calcul de Malliavin pour l'évaluation des sensibilités
Le calcul des sensibilités des prix par rapport à des paramètres est un enjeu important en ingénierie financière. Le calcul de Malliavin peut être utilisé pour calculer efficacement ces sensibilités (les grecques dans le jargon des praticiens). Dans certains modèles cependant, en particulier les modèles dits en racine carrée, la présence d'une singularité rend délicate l'utilisation de ces techniques. V. Bally s'attache à développer un calcul de Malliavin local pour traiter ce type de situations, tant dans des modèles de diffusions que dans des modèles avec sauts. Une thèse a été engagée sur cette thématique.
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Processus de Lévy et calcul d'options
L'utilisation de processus de Lévy généraux en finance s'est considérablement développée dans les dix dernières années et pose de nombreux problèmes théoriques et numériques. Les projets de l'équipe dans cette direction concernent les options américaines (propriétés qualitatives des fonctions de prix, frontières d'exercice etc.), les options à barrière ou sur maximum, les modèles multidimensionnels.
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Modélisation financière
L. Nguyen-Ngoc propose l'étude du problème de l'information faible dans un modèle à volatilité stochastique. C'est le cas typique d'un marché incomplet, il reste relativement simple et il mérite d'être exploré plus en détails. Il souhaite en outre poursuivre l'étude de la pénalisation des processus de Lévy, par des fonctionnelles plus générales.
La modélisation de la variance est aussi une thématique qui sera explorée dans les années à venir. La thèse de S. M. Ould Aly, qui a une activité de doctorant conseil auprès d'une équipe de Natixis, a pour but de dégager un modèle efficace permettant de traiter simultanément les options sur un actif risqué et les produits dérivés sur la variance réalisée de cet actif.
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Quantification optimale
J. Printems, en collaboration avec G. Pagès (Paris 6), souhaite étudier la méthode d'extrapolation en quantification. Bien qu'on ne puisse pas comparer directement une méthode de Monte Carlo, par nature aléatoire, et une méthode déterministe comme la quantification, on observe en pratique une taille critique au-delà de laquelle une méthode probabiliste est préférable. Il existe une méthode pour repousser cette taille critique, au moins pour des fonctionnelles régulières : c'est une méthode d'extrapolation, dite de Romberg, qui à partir d'un développement limité de l'erreur permet d'annuler des termes du développement par des combinaisons linéaires adéquates.
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Algorithmes stochastiques
P. Vandekerkhove envisage l'étude de la vitesse de convergence de l'algorithme du bandit à deux bras dans un cadre ergodique.
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Théorèmes limites, Statistique
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Estimation de taux de compétition
N. Fournier et E. Löcherbach s'intéressent à l'estimation du taux de compétition dans une population d'individus immobiles (des plantes). On suppose que quand une plante naît, elle pousse à une certaine distance (aléatoire) de sa mère. Les individus meurent soit de mort naturelle, soit à cause d'une trop forte présence dans son environnement proche. Une des difficultés est de distinguer les morts naturelles des morts par compétitions, puisque cette distinction n'est pas directement observable.
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Estimation non-paramétrique pour des diffusions multidimensionnelles
E. Löcherbach, en collaboration avec F. Comte et V. Genon-Catalot (Paris 5) souhaite appliquer les résultats de son travail avec D. Loukianova sur la méthode de scission de Nummelin en temps continu, à l'estimation du noyau de la fonction de dérive b d'une diffusion récurrente multi-dimensionnelle. Dans un modèle régulier, elle propose de mettre en oeuvre la méthode de Lepski pour estimer b de manière doublement adaptative : par rapport à la régularité de la fonction à estimer mais aussi par rapport au type de récurrence.
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Diffusions récurrentes multidimensionnelles
En collaboration avec V. Genon-Catalot (Paris 5), E. Löcherbach propose de caractériser les diffusions récurrentes régulières. Elle propose également d'entreprendre une étude de la mesure invariante dans ce cas.
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Inégalités maximales
Avec J. Dedecker (Université Paris 6) et S. Gouëzel (Université Rennes I), F. Merlevède projette d'utiliser des techniques d'approximations par martingales pour établir de nouvelles inégalités maximales suffisamment performantes pour obtenir des approximations fortes sous des conditions de dépendance plus faible que celles imposées jusqu'alors dans ce contexte. On pourrait alors espérer obtenir des résultats nouveaux concernant des classes de fonctions de certaines transformations intermittentes et leurs chaînes de Markov associées.
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Vitesses de convergence dans le théorème limite central
Dans le cadre des vitesses de convergence dans le théorème limite central pour les sommes partielles de variables aléatoires, avec J. Dedecker (Université Paris 6), F. Merlevède envisage ; pour la distance de Wasserstein d'ordre 1, d'établir la vitesse racine de n sous de nouvelles conditions de dépendance faible et lorsque que les variables n'admettent qu'un moment d'ordre 3. Ce genre de résultat aurait des applications directes pour certaines classes de fonctions de transformations uniformément dilatantes de l'intervalle.
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Grandes déviations pour des temps locaux
En collaboration avec D. Korshunov (Université d'Etat de Novossibirsk), A. Asselah et M. Zani envisagent de déterminer un principe de grandes déviations pour des temps locaux d'intersection de marches aléatoires simples en dimension 3. Ils observent une identité entre les temps locaux et le temps local d'auto-intersection de la marche. Ils chercheront à déterminer un principe de grandes déviations pour la famille des temps locaux de la marche, en vue d'applications au temps local d'auto-intersection.
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Grandes déviations et efficacité asymptotique de tests
En collaboration avec A. Chirina (Université de St-Petersbourg), qui est en post-doc (bourse Ile-de-France) dans notre laboratoire depuis mars 2007, M. Zani travaille sur les grandes déviations et l'efficacité asymptotique de tests concernant l'estimation des paramètres d'une loi normale. Ce travail fait suite aux travaux déjà effectués par A. Chirina dans la cadre de sa thèse.
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Déviations modérées et inégalités exponentielles
Dans le cas où le processus est géométriquement fortement mélangeant (dans le sens de Rosenblatt) l'inégalité exponentielle la plus performante à ce jour est celle établie par Rio (1992) qui par rapport à l'inégalité de Bernstein dans le cas iid fait perdre une puissance de t si l'on regarde la probabilité de déviation par rapport à t. La technique utilisée par Rio est une technique de couplage. Avec E. Rio (Université de Versailles) et M. Peligrad (Université de Cincinnati), F. Merlevède envisage d'utiliser une technique de décorrélation sur des blocs bien choisis, ce qui devrait permettre une amélioration de l'inégalité exponentielle obtenue par Rio et ainsi limiter la perte par rapport au cas iid. Ce genre d'inégalités que l'on pourrait appeler de type Bernstein pourrait permettre d'améliorer des résultats de déviations modérées pour certaines classes de processus faiblement dépendants. Par ailleurs dans le cadre des déviations modérées, F. Merlevède envisage également d'étudier en collaboration avec M. Peligrad, sous quelles conditions on peut obtenir le principe de déviations modérées pour le processus associé aux sommes partielles d'un processus linéaire dont les innovations satisfont des conditions de dépendance faible et dont les coefficients sont simplement supposés être de carré sommables.
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Petites déviations
Avec V. Vysotsky (Université d'état de Saint-Petersbourg), post-doc invité un mois sur une bourse « jeunes chercheurs russes » du département MPPU du CNRS, M. Zani projette d'étudier les petites déviations pour des marches aléatoires intégrées, en généralisant les résultats de McKean et Sinai.
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Approximation de complexité pour des champs aléatoires
En collaboration avec M. Lifshit (Université d'Etat de St-Petersbourg), M. Zani veut étendre les travaux déjà menés sur l'approximation de complexité pour les champs aléatoires. Tout en considérant le même champ aléatoire additif, elle souhaite définir une approximation non plus en moyenne, mais en probabilité.
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Classification des processus de diffusion de dimension 2
Avec D. Bakry (Univ. Toulouse 3) et N. Demni (post-doc Bielefeld), M. Zani souhaite classifier les processus de diffusions en dimension 2. Pour généraliser les travaux de Bakry-Mazet, elle considérera des diffusions en dimension 2 dont l'opérateur est décomposable sur une base de polynômes orthogonaux de 2 variables.
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Statistique des processus de diffusion et applications en finance
A. Gloter et M. Hoffmann identifient plusieurs axes de recherche en finance statistique, motivés par les applications en salle de marché : les indicateurs de régularité, la représentation et le lissage du bruit de microstructure pour des flux de données haute fréquence (collaboration avec avec P. Mykland et L. Zhang), la prévision et l'estimation multi-échelle de la volatilité (et co-volatilité), la caractérisation des effets dits «lead-lag» entre plusieurs actifs (collaboration avec N. Yoshida). A. Gloter et T. Jeantheau envisagent l'étude de modèles COGARCH introduits par C. Kluppelberg en 2004.
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Problèmes inverses en statistique non-paramétrique
M. Hoffmann poursuit ses collaborations sur cette thématique avec D. Picard, G. Kerkyacharian et S. Delattre (Paris 7), (analyse des méthodes WaveVD avec erreur dans l'opérateur), et avec M. Doumic, P. Reynaud-Bouret et V. Rivoirard (analyse de problème inverses avec données initiales manquantes pour la modélisation de phénomènes biologiques).
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Statistique des modèles multifractals
Pour les cascades multiplicatives en asymptotiques mixtes, L. Duvernet étudie la généralisation des résultats de Bacry, Gloter, Hoffmann et Muzy aux modèles continus dits MRW log-infiniment divisibles dans le cadre de sa thèse.
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