Thèmes de recherche - projet 2010-2013

FIABILITE, METHODES STATISTIQUES EN MILIEU INDUSTRIEL

1. Fiabilité dynamique - Processus de Markov déterministes par morceaux

   Les méthodes proposées par Sophie Mercier pour l'encadrement de quantités fiabilistes (à temps fini) liées à des processus semi-markoviens à valeurs dans un espace d'état dénombrable reposent foncièrement sur les équations de renouvellement markovien que vérifient ces quantités. Un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP) est en fait un processus de renouvellement markovien à valeur dans un espace d'état général et les quantités fiabilistes associées sont elles aussi solutions d'équations de renouvellement markovien. Sophie Mercier souhaiterait donc généraliser les résultats obtenus pour des processus semi-markoviens à ce type de processus, ou tout au moins pour certains d'entre eux, de forme particulière.

   Dans des travaux précédents, deux schémas de volumes finis avaient été proposés, pour l'évaluation des lois marginales d'un PDMP. L'un est explicite, et sa convergence n'a été montrée que sous une condition de type CFL inverse, l'autre est implicite, et sa programmation est alourdie par la nécessité de résoudre un système linéaire à chaque pas de temps. Robert Eymard et Sophie Mercier seraient donc intéressés par la poursuite de ces travaux, afin de proposer un schéma explicite qui convergerait sous des conditions moins restrictives, et qui serait sans doute plus simple à implémenter qu'un schéma implicite.

   Dans le même ordre d'idées, la démonstration de la convergence du schéma de volumes finis étudié dans la thèse de Margot Desgrouas pour l'approximation de la loi stationnaire d'un PDMP n'a été effectuée que dans un cas particulier (espace compact et de dimension 1). Robert Eymard et Sophie Mercier souhaiteraient donc poursuivre cette étude.

2. Composants obsolescents

   Sophie Mercier souhaiterait poursuivre son travail sur les composants obsolescents. En effet, dans la littérature économique consacrée au remplacement de composants obsolescents, si l'aspect innovation technologique a été bien développé, la modélisation aléatoire des dégradations a en revanche souvent été laissée pour compte. Les résultats obtenus précédemment par Sophie Mercier montrent cependant qu'il y a un réel intérêt à modéliser précisément cette dégradation et que les résultats qualitatifs peuvent être très différents selon le mode de dégradation envisagée. D'où l'idée de reprendre certains modèles d'innovation technologique en considérant différents modes de dégradation. De la même façon, la littérature fiabiliste classique n'envisage pas l'obsolescence des composants utilisés et les modèles de maintenance usuels pourraient être repris à la lumière de cette éventualité.

3. Co-encadrement d'une thèse CIFRE à la SNCF

   William Lair, étudiant du Master Recherche Mathématique et Applications à l'Université Paris-Est Marne-la-Vallée (option Fiabilité), effectue actuellement son stage de deuxième année à la SNCF, sous la direction de Sophie Mercier, Michel Roussignol et de Rachid Ziani (SNCF). Si tous les partenaires en sont d'accord, ce stage devrait se poursuivre par une thèse en convention CIFRE avec les mêmes acteurs. Le sujet de stage de William Lair porte sur l'étude des circuits de voie et des poteaux caténaires, le sujet de thèse proposé, sur les passages à niveau et autres systèmes complexes. Pour chacune de ces études, le but est de modéliser la durée de vie du système, de proposer différentes politiques de maintenance préventive et de les optimiser. Ceci nécessite l'utilisation de techniques statistiques (avec l'estimation de durées de vie), probabilistes (avec la modélisation à l'aide de processus de Markov déterministes par morceaux) et numériques (avec l'évaluation quantitative des critères d'optimisation, que ce soit par méthodes de volumes finis ou par simulation de Monte-Carlo).

4. Projets de livre

   Robert Eymard, Sophie Mercier et Michel Roussignol ont un projet de livre chez Springer, dans la collection Springer Series on Reliability Engineering, consacré aux méthodes numériques en fiabilité dynamique. L'idée de cet ouvrage leur a été proposée par Anthony Doyle, Senior Editor - Engineering, Springer. Si ce projet se réalise, l'idée est d'essayer de faire une présentation simple des processus de Markov déterministes par morceaux, qui mette en évidence leur puissance de modélisation, ainsi que de proposer différents outils pour leur évaluation numérique : simulations de Monte-Carlo, méthodes d'encadrement et méthodes de type volumes finis, cette dernière partie étant appelée à être la plus développée.

   Christiane Cocozza a débuté la rédaction d'un ouvrage dont le titre pourrait être "Processus de renouvellement markoviens et déterministes par morceaux. Processus hybrides. Applications". Il constituera la suite de son ouvrage précédent "Processus de Markov et fiabilité des systèmes". Une première partie concernera l'étude des processus de renouvellement markoviens et des processus semi-markoviens complétés par le processus donnant la durée dans l'état courant. Ces processus semi-markoviens complétés (CSMP) sont à la base de la construction des processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP). Les questions abordées ultérieurement concernant les PDMP (caractérisation des lois marginales, du régime stationnaire, agrégation, approximation par des processus à valeurs dans un espace fini pour leur quantification) seront d'abord étudiées dans le cadre des CSMP à valeurs dans un espace général. Cela permettra de mettre en évidence les mécanismes qui "font marcher les choses" et l'origine des difficultés. Une deuxième partie sera orientée "applications" et s'adressera à un public d'utilisateurs (alors que la première partie sera très mathématiques). Elle traitera de la modélisation par PDMP et de l'application des résultats de la première partie à ceux-ci.

5. Modélisation en biologie

   Robert Eymard et Sophie Mercier sont parties prenantes dans un projet ANR intitulé Infections Nosocomiales et Modèles Epidémiques, qui a été déposé en mars dernier. Ce projet est porté par Pierre Magal (Université du Havre), Dominique Pontier (Université Claude Bernard Lyon I) et Philippe Vanhems (Hôpital Edouard Herriot, Hospices Civils de Lyon) et se situe dans le cadre de l'appel à projets « Maladies infectieuses et leur environnement ». Son objectif est de construire un outil d'aide à la décision permettant d'évaluer l'impact de traitements antibiotiques dans le contexte de la lutte contre les infections nosocomiales au sein du milieu hospitalier. La participation à ce projet a été proposée à Robert Eymard et à Sophie Mercier par Dominique Pontier, responsable de la partie modélisation probabiliste et étude statistique du projet.

6. Statistique des valeurs extrêmes

   Avec Philippe Naveau (CNRS, CEA), Armelle Guillou et Pierre Ribéreau, Jean Diebolt va aborder la question de l'estimation robuste de la structure de dépendance spatiale de valeurs extrêmes multivariées. Ce travail illustrera la volonté de passer des problèmes univariés aux questions relatives aux extrêmes multivariés. La première question à étudier sera celle de donner une majoration précise à la probabilité qu'un vecteur aléatoire se trouve à l'extérieur d'un pavé de grande taille. (Le cas particulier univarié est l'objet d'un travail en cours de publication.).

7. Modélisation du trafic routier

   La collaboration avec le laboratoire GARIG de l'INRETS va se poursuivre dans le cadre de la thèse d'Antoine Tordeux qui doit être soutenue à la fin de l'année universitaire 2009-2010. A l'issue de cette thèse, le laboratoire GARIG doit disposer d'un simulateur de trafic sur autoroute permettant de tester différentes politiques réglementaires ou différents comportements de véhicule en terme de sécurité. Cette thèse est co-encadrée par Sylvain Lassarre de l'INRETS et Michel Roussignol.