EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

1. Modèles issus de la mécanique des fluides

   1. Fluides géophysiques

      Avec M. Paicu et V.-S. Ngo (Paris 11), F. Charve souhaite étudier le cas de données ayant une partie quasigéostrophique non nulle, qui est l'analogue du cas du système des fluides tournants avec une donnée ayant une composante bidimensionnelle. F. Charve compte poursuivre l'étude de la convergence quasigéostrophique dans le cadre des poches de tourbillon et veut aussi étudier le comportement de la déformée de la poche initiale par la vitesse visqueuse et le comportement du système visqueux lorsque la viscosité tend vers zéro. En collaboration avec V. Roussier (Toulouse), F. Charve veut étudier le comportement en temps long et à nombre de Rossby fixé des solutions des équations primitives. F. Charve souhaite adapter ses méthodes à l'étude du système des équations planétaires géostrophiques (pour lesquelles on perd la structure antisymétrique des opérateurs singuliers du premier ordre). Avec son étudiante L. Fang, R. Danchin compte étudier un modèle de fluides incompressibles non homogènes soumis à la force de Coriolis. R. Danchin et M. Paicu (Paris 11) s'intéressent au système de Boussinesq en dimension 2 avec viscosité anisotrope. M. Cannone souhaite étudier avec C. Miao (Beijing) la régularité de l'équation de Boussinesq fractale.

   2. Equations d'Euler incompressibles en dimension deux

      Si les équations d'Euler incompressibles sont globalement bien posées en dimension deux, la borne classique pour les normes de Sobolev croît comme une double exponentielle en temps. Par ailleurs, on sait qu'un tourbillon initialement à support compact reste à support compact pour tout temps. La meilleure estimation connue sur la croissance du diamètre du support du tourbillon est de l'ordre de t1/4. R. Danchin souhaite étudier si ces deux estimations sont optimales.

   3. Fluides compressibles ou incompressibles à densité variable

      R. Danchin souhaite adapter ses résultats au cas de domaines à bords avec des conditions de Dirichlet pour la vitesse. Toute la difficulté consiste à trouver un bon substitut aux techniques de Fourier qui sont utilisées jusqu'à présent. Une étude dans le cas du système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-plan est en cours avec P. Mucha (Varsovie).

      De nombreux travaux issus de l'école japonaise des années 80 sont consacrés à l'asymptotique en temps long des petites perturbations d'un état constant thermodynamiquement stable pour les équations de Navier-Stokes compressibles dans le cas très régulier. F. Charve, R. Danchin et F. Vigneron comptent établir des résultats qualitativement similaires pour des données à régularité critique.

   4. Fluides capillaires et interfaces diffuses

      En collaboration avec S. Benzoni et S. Descombes, R. Danchin compte étudier la stabilité orbitale des profils capillaires unidimensionnels. Il souhaite également aborder l'étude de la version non isotherme du modèle de fluide capillaire qui nécessite d'exploiter les propriétés dispersives du système linéarisé sous-jacent.

   5. Equations de Navier-Stokes

      Dans le cas d'un domaine extérieur, F. Vigneron propose de trouver un développement asymptotique du champ de vitesse. Afin de mieux comprendre la raison profonde du taux critique |x|-d-1 comme limite d'un régime acoustique, il souhaite aussi étudier les propriétés de localisation du champ de vitesse dans le régime faiblement compressible. Le tourbillon associé à une donnée initiale décroissante tend vers la dynamique universelle de Gallay-Wayne dont on connaît la forme explicite. Pour comprendre l'évolution en régime transitoire, F. Vigneron compte étudier le cas d'un tourbillon initial de type paquet d'onde, de taille h et présentant N oscillations. A temps petit, une telle donnée présente un comportement de type point-vortex, radicalement différent de la dynamique de Gallay-Wayne. Sur le thème du comportement asymptotique des équations de Navier-Stokes avec données à décroissance lente à l'infini, une collaboration entre M. Cannone, C. He (Beijing) et G. Karch (Wroclaw) est en cours.

   6. Fluides viscoélastiques

      C. Guillopé souhaite, en collaboration avec R. Talhouk et Z. Salloum, étudier la limite incompressible pour des écoulements de fluides viscoélastiques faiblement compressibles lorsque les données ne sont pas bien préparées. Elle souhaite aussi s'intéresser à des écoulements de tels fluides dans des domaines polygonaux, convexes ou non convexes.

   7. Modélisation des ondes longues

      En collaboration avec J. Bona (Chicago), C. Guillopé souhaite étudier les modèles bidimensionnels d'ondes longues. Il s'agit de faire une étude mathématique d'un problème d'EDP modélisant les ondes longues à la surface d'un liquide dans un récipient rectangulaire, sur le bord duquel est placé un agitateur. Les équations aux dérivées partielles considérées sont, par exemple, l'équation de Boussinesq 2D, ou le modèle de Kadomtsev-Petviashvili.

   8. Equation de Boltzmann

      N. Fournier compte poursuivre ses recherches sur le problème de l'unicité pour l'équation de Boltzmann sans troncature. D'autre part, la méthode qu'il a développée devrait s'étendre à l'équation de Fokker-Planck-Landau, qui est en quelque sorte une limite de l'équation de Boltzmann pour les interactions à très longue portée. Enfin, il aimerait obtenir une vitesse de convergence de la solution de l'équation de Boltzmann vers celle de l'équation de Fokker-Planck-Landau dans l'asymptotique des collisions rasantes: pour l'instant, aucune vitesse n'est connue, puisque cette convergence est obtenue par compacité. V. Bally et N. Fournier ont pour objectif d'obtenir un résultat de régularisation pour l'équation de Boltzmann pour des potentiels mous. L'heuristique est que même si la distribution initiale des vitesses est très dégénérée, les particules se collisionnent très rapidement en engendrant une déviation aléatoire si bien que la distribution des vitesses devrait se régulariser instantanément.

2. EDP elliptiques

   1. Equation de Gierer-Meihardt

      A. Beaulieu et G. Allain comptent poursuivre leur étude sur les équations de la forme -e2∆u+f(u)=0 et préciser le comportement des solutions bipériodiques ne tendant pas vers 0 à l'infini. Pour e grand, les solutions ne dépendent que d'une variable. Pour e petit, elles veulent montrer qu'il existe des branches de solutions qui dépendent des deux variables, issues de bifurcations à partir de la solution 1. L'étape suivante consistera à montrer la concentration de ces solutions vers l'unique solution positive radiale nulle à l'infini de l'équation considérée. Elles souhaitent aussi établir des résultats du type unicité. Sur le même problème, F. Pacard, M. del Pino et M. Kowalczky (Universidad de Chile) veulent entreprendre la classification des solutions entières dans l'esprit des travaux entrepris sur les surfaces à courbure moyenne constante. Cette classification passe par l'étude de l'ensemble des solutions de cette équation dont l'énergie sur des boules de rayon R croît de manière linéaire. Cet ensemble est localement une variété analytique dont on peut calculer la dimension grâce à des théorèmes d'indices relatifs. Une étude semblable (mais plus simple) est envisagée pour l'équation d'Allen-Cahn.

   2. Problèmes avec défauts de compacité

      En collaboration avec D. Passaseo (Lecce, Italie) et R. Molle (Rome), R. Hadiji souhaite travailler d'une part sur les équations quasi-linéaires avec exposant critique et d'autre part sur les équations semi-linéaires avec exposant critique et poids. Il s'agit par exemple de généraliser les résultats de Brezis-Nirenberg obtenus dans le cas semi-linéaire.

      Dans le cadre du projet ECOS, F. Pacard, en collaboration avec M. Musso et M. del Pino souhaite poursuivre l'étude des solutions des équations semilinéaires avec exposants surcritiques dans un domaine extérieur. Le but est de mettre en évidence les liens entre les solutions de l'équation ∆u + u(N+2)/(N-2) - e = 0 quand e tend vers 0 et les solutions d'un problème d'obstacle.

   3. Analyse fine de la vorticité

      E. Sandier et S. Serfaty (Paris 6) souhaitent faire le lien entre les agencements de vortex de type réseaux d'Abrikosov et la description en densité que constituent les mesures de vorticité, via une analyse à différentes échelles, ou blow-up. Par ailleurs, E. Sandier et S. Serfaty souhaitent continuer l'étude et la classification des mesures de vorticité limites. Celles-ci sont parfaitement connues dans le cas d'une famille de minimiseurs de la fonctionnelle, mais pas dans le cas d'une famille de points critiques. Une première question qui se pose est celle de la régularité. Est-ce que le support d'une mesure critique est nécessairement de dimension 0, 1 ou 2 ? Par ailleurs peut-on classifier les mesures critiques dans le plan ? E. Sandier souhaite aussi évaluer le degré de rigidité de cette condition.

   4. Dynamique des vortex

      Il s'agit du versant dynamique du problème de Ginzburg-Landau. E. Sandier et ses collaborateurs se concentreront sur deux équations particulièrement intéressantes : l'équation de Gross-Pitaevskiì et le flot de la chaleur de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau. Dans les deux cas le problème que l'on se pose est de décrire, dans la limite où la taille caractéristique des vortex tend vers 0, les solutions de ces équations en termes de dynamique des vortex. R. Danchin, Y. Ge, J. Printems et E. Sandier, en collaboration avec D. Smets (Paris 6), dans le cadre d'un projet ANR, souhaitent étudier l'équation de Gross-Pitaevskiì lorsque e tend vers 0 avec données initiales mal préparées (c'est-à-dire présentant à la fois des vortex et un excès d'énergie qui n'est pas contenu dans ces vortex). La dynamique à partir d'une telle donnée combine le mouvement des vortex avec des ondes acoustiques, et les interactions des deux. Formellement, après une remise à l'échelle adéquate, on conjecture que la densité de vortex évolue comme dans le cas des équations d'Euler incompressibles. En guise d'échauffement, F. Bethuel (Paris 6), R. Danchin et D. Smets étudient l'asymptotique en l'absence de vortex. Après transformation de Madelung, le système obtenu rentre dans la classe des modèles de fluides capillaires.

   5. Modèle de Lawrence-Doniac

      E. Sandier souhaite aussi poursuivre l'étude du modèle de Lawrence-Doniach utilisé pour décrire des supraconducteurs à haute température critique. En collaboration avec S. Alama et L. Bronsard (Université Mc Master, Canada), E. Sandier veut analyser ce modèle dans différents régimes, ainsi que le modèle de Ginzburg-Landau anisotrope. Le but est de répondre à une question qui fait l'objet de nombreux articles de physique : comment, en trois dimensions, s'alignent les filaments de vorticité en réponse à un champ magnétique appliqué constant ?

3. Autres Problèmes

   1. Chimie quantique

      Les chimistes disposent depuis longtemps d'algorithmes permettant de calculer une valeur numérique de la densité de présence d'une molécule en fonction des données initiales : l'un des plus connus est celui de J. Tully. Du point de vue mathématique, la convergence de ces algorithmes n'est pas démontrée et il est difficile d'en comprendre le mécanisme. En collaboration avec C. Lasser (Berlin), C. Fermanian-Kammerer propose d'analyser des croisements évités où les valeurs propres se croisent dans un régime asymptotique qui dépend d'un deuxième paramètre. Un travail en cours est consacré à l'obtention d'algorithmes dans ce cadre. Enfin, en collaboration avec C. Lasser et V. Rousse, C. Fermanian-Kammerer souhaite étudier la classe des pseudo-hamiltoniens de Jahn-Teller qui, eux aussi, intéressent les chimistes.

   2. Condensats de Bose-Einstein moléculaires

      La modélisation de phénomènes physiques intervenant lors de la formation de condensats de Bose-Einstein moléculaires fait apparaître des systèmes d'équations de Gross-Pitaievskiì couplées. De nombreux travaux ont été consacrés au cas des équations scalaires pour lesquelles la matrice de couplage est diagonale. Un projet en collaboration entre C. Fermanian-Kammerer et V. Rousse vise à comprendre les interactions entre le couplage matriciel et le couplage par la non linéarité lorsque la matrice présente des croisements de mode. La deuxième étape de ce projet consiste à étudier les solutions de l'équation ci-dessus lorsque la donnée initiale est un paquet d'onde gaussien dirigée suivant un vecteur propre de la matrice.

   3. Ondes viscoélastiques

      C. Fermanian-Kammerer souhaite poursuivre ses travaux en collaboration avec A. Atallah-Baraket (Tunis) sur les ondes viscoélastiques.

   4. Espaces de Sobolev pour des structures sous-Riemanniennes

      F. Vigneron veut étudier l'inégalité de Hardy pour des familles de champ de vecteurs vérifiant une condition de crochet. Il souhaite aussi démontrer des généralisations anisotropes de l'inégalité de Hardy en remplaçant la distance sous-riemannienne à un point par la distance à une sous-variété. Ceci permettrait d'étudier les traces au voisinage de certains points caractéristiques dégénérés. F. Vigneron propose de reconstruire une théorie des traces basée sur la mesure et la structure métrique. Par exemple, il serait possible d'uniformiser la description des différents espaces entre le cas caractéristique non dégénéré et certains cas dégénérés connus en utilisant des normes d'approximation polynomiales.

   5. Cristaux liquides

      Suite aux travaux de Hardt, Kinderlehrer et Lin, C. Guillopé a commencé une collaboration avec C. Calderer (University of Minnesota) sur des problèmes issus de la physique des cristaux liquides dans le cas où ces cristaux contiennent des petites particules et sont soumis à un champ électrique.

   6. Eclatement périodique en homogénéisation

      A. Damlamian envisage de nombreuses applications de la méthode de l'éclatement périodique. Les collaborations se poursuivent avec D. Cioranescu et G. Griso (Paris 6) pour les développements de la théorie; B. Vernescu (Worcester Polytechnic Institute, Massachusetts) et D. Onofrei (Rutgers) pour les applications aux problèmes de type « Passoire de Neumann » non linéaire, et sur les correcteurs d'ordre élevé; G. Chechkin (Moscou) et A. Piatnitski (Narvik et Moscou) pour les problèmes avec singularités sur le bord; A. Piatnitski pour l'homogénéisation stochastique; R. de Arcangelis (Naples) pour les fonctionnelles quasi-convexes dans des domaines avec trous; L.-E. Persson, K. Petersen (Uppsala), S. Monsurro (Salerno) pour l'application de l'éclatement périodique aux problèmes avec frontières oscillantes. Pour les applications numériques, une collaboration a commencé entre A. Damlamian et A. Abdulle (Edinburgh).

   7. Régularité optimale pour les équations de transport-diffusion

      Pour ces équations, R. Danchin souhaite obtenir des estimations a priori optimales et uniformes par rapport à la viscosité dans des espaces de type Besov, valables dans des domaines généraux.

   8. EDP paraboliques

      A. Prignet souhaite donner une définition pour les solutions entropiques et renormalisées pour des EDP paraboliques avec opérateur de Leray-Lions et données mesure quelconques. R. Eymard et A. Prignet souhaitent poursuivre l'étude des schémas numériques pour des équations paraboliques non linéaires à données mesure.

   9. Simulations numériques

      Un contrat a été engagé entre R. Eymard et EDF pour encadrer une thèse CIFRE sur une extension des schémas de diffusion sur grille quelconque à des problèmes diphasiques. De nouveaux schémas de volumes finis pour Navier Stokes, étendant le schéma MAC sur grille quelconque, devraient permettre l'accroissement des performances sur des problèmes réels en 3D. L'encadrement d'une thèse au sein de l'IFP (L. Agelas) permet d'approfondir les propriétés mathématiques de stabilité de différents schémas pour la diffusion, dans le contexte de maillages très déformés. Une thèse devrait démarrer à l'IFP sur le thème de l'accroissement des performances des simulateurs compositionnels.