Thèmes de recherche - projet 2010-2013

PROBLEMES LIES A LA COURBURE

1. Surfaces CMC dans les variétés homogènes

   B. Daniel souhaite poursuivre ses recherches dans la théorie des surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés homogènes.

   Deux résultats importants dans la théorie des surfaces compactes à courbure moyenne constante dans R3 sont les théorèmes de Hopf et d'Alexandrov. Le premier affirme que les seules surfaces immergées à courbure moyenne constante difféomorphes à la sphère sont les sphères rondes (c'est-à-dire les sphères standards). Le second affirme que les seules surfaces compactes plongées à courbure moyenne constante sont les sphères rondes. Le théorème d'Alexandrov reste un problème ouvert dans le groupe de Heisenberg Nil3. Des techniques envisageables seraient d'utiliser la formule intégrale de Reilly (qui permet de démontrer le théorème d'Alexandrov dans R3), ou des techniques spinorielles. Ce théorème aurait par ailleurs comme corollaire la résolution du problème isopérimétrique dans Nil3 : les sphères standard seraient les solutions.

   Un autre axe de recherche envisageable est de démontrer un « théorème fort du demi-espace » dans Nil3. Un tel théorème serait un prolongement du « théorème du demi-espace vertical » déjà démontré. Le théorème fort du demi-espace dans R3 affirme que si deux surfaces minimales proprement immergées dans R3 ne se rencontrent pas, alors ce sont deux plans parallèles. On ne peut pas espérer une conclusion aussi simple dans Nil3 car il existe beaucoup de graphes minimaux entiers, que l'on peut translater verticalement, ce qui donne de nombreux exemples de surfaces minimales proprement immergées dans Nil3 qui ne se rencontrent pas. On peut cependant conjecturer que ceci est la seule possibilité avec les plans verticaux parallèles.

   On peut aussi s'intéresser à la théorie des surfaces minimales dans le groupe de Heisenberg Nil3 du point de vue des systèmes intégrables et des groupes de lacets (applications du cercle dans des groupes de Lie). Ceci est envisageable grâce au fait que l'application de Gauss des surfaces minimales dans Nil3 est harmonique à valeurs dans le disque hyperbolique. Ces techniques ont permis de construire de nombreux exemples de surfaces à courbure moyenne constante dans R3 (l'application de Gauss de ces surfaces est harmonique à valeurs dans la sphère). D. Brander, W. Rossman et N. Schmitt on commencé une analyse similaire pour les surfaces CMC-1/2 dans l'espace de Lorentz L3, et ces surfaces sont liées aux minimales de Nil3 et CMC-1/2 de H2xR d'après les travaux de B. Daniel, P. Mira et I. Fernandez. L'objectif de S. Cartier, étudiant de P. Romon, est d'obtenir une paramétrisation algébrique, notamment des bouts de telles surfaces.

   L. Hauswirth a construit des surfaces de type anneau dans S2xR et H2xR proprement plongées. Il souhaite montrer qu'il n'y en a pas d'autres. Il s'agit d'étudier l'espace de modules des solutions de l'équation de sinh-Gordon et d'en comprendre la géométrie sous-jacente. Ceci dans l'esprit des théorèmes récents de W. Meeks, J. Pérez et A. Ros pour les exemples de type Riemann dans S3 et de la classifications des tores minimaux plongés dans S3 de M. Schmidt et M. Kilian. Les techniques employées sont celles des systèmes intégrables. Ce domaine sera aussi le sujet de travail de J. Roth récemment recruté à l'UPEMLV

2. Problème de Nirenberg

   F. Pacard et Y. Ge s'intéressent au problème de Nirenberg sur Sn. Plus précisément, étant donnée une fonction positive h qui est proche d'une fonction constante, ils veulent construire une suite de métriques conformes à la métrique canonique de la sphère et dont la courbure scalaire est égale à h. Dans le cas où la fonction h ne dépend que de la fonction hauteur sur la sphère ces métriques ont déjà été construites mais la méthode repose sur le fait que dans ce cas le problème revient à résoudre une équation différentielle ordinaire et non une équation aux dérivées partielles. Le but étant de démontrer un phénomène de non compacité pour ce problème.

3. Transport optimal

   Y. Ge, en collaboration avec P. Delanoë, (Université de Nice), souhaite étudier des équations complètement non linéaires qui sont issues de la théorie du transport optimal sur des espaces métriques ou des variétés Riemanniennes. Ce projet fait partie du projet conjoint FAST en analyse géométrique dont les responsables sont P. Delanoë et N. Trudinger (ANU, Canberra).

4. Domaines isopérimétriques

   B. Daniel et Y. Ge veulent étudier les propriétés géométriques des domaines isopérimétriques dans le groupe de Heisenberg. Le groupe de Heisenberg, muni d'une métrique riemannienne, est l'exemple le plus simple de variété homogène différente des espaces Rn (espace euclidien), Sn (sphère) et Hn (espace hyperbolique). Le bord des domaines isopérimétriques sont des surfaces à courbure moyenne constante et l'étude des propriétés géométriques de ces surfaces joue un rôle central en géométrie différentielle. Ils conjecturent que ces surfaces conservent certaines symétries et qu'elles sont uniques modulo l'action du groupe des isométries de la variété. Si tel est le cas, ils espèrent appliquer ces résultats à l'étude de la symétrie des domaines isopérimétriques en géométrie sous-riemannienne dans le groupe de Heisenberg.

   En collaboration avec M. Monténégro (Campinas-Brésil) F. Pacard souhaite continuer l'étude des domaines extrémaux pour la première valeur propre du Laplacien. En particulier l'existence de domaines extrémaux non bornés dans l'espace euclidien. Il souhaite, en collaboration avec B. White et R. Mazzeo (Université de Stanford USA), étudier un problème isopérimétrique posé pour les sous variétés de dimension k dans des variétés de dimension n > k. Peu d'exemples sont connus pour ce problème, posé par Almgren.

5. Surfaces minimisantes lagrangiennes

   P. Romon part un an à Stanford pour travailler avec R. Schoen sur l'existence et la régularité de minimiseurs lagrangiens dans une classe d'isotopie hamiltonienne donnée. Cela compléterait son travail précédent de classification des tores stationnaires hamiltoniens, avec comme objectif de caractériser les minimiseurs (conjecture de Oh). La méthode envisagée part d'un flot similaire à celui par la courbure moyenne (sachant que ce dernier n'est pas hamiltonien), dont les points fixes seraient les solitons recherchés.

6. Surfaces minimales de R3

   L. Mazet, en collaboration avec M. Rodríguez (Université de Madrid, Espagne) et M. Traizet (Université de Tours), a construit des exemples de surfaces minimales de genre 0 et de courbure totale infinie dans R2xS1. Une question qui est alors apparue est de savoir si cette construction ne permettrait pas d'obtenir tous les exemples de surfaces minimales de genre 0, proprement plongées dans R2xS1. L. Hauswirth, F. Morabito et M. Rodriguez ont généralisé les exemples de L. Mazet et M. Traizet (Université de Tours).

   Ce travail se place dans la suite de la classification des surfaces minimales de genre 0 dans R3 qui vient d'être récemment achevée par W. Meeks et A. Ros. L. Mazet envisage sur ce point une collaboration avec A. Ros (Université de Grenade, Espagne) qui a soulevé la question d'une telle classification dans R2xS1.

7. Surfaces CMC dans H2xR

   L'opérateur de stabilité s'écrit pour une surface immergée dans une variété de dimension 3 : L=-∆+K-S-|A|2/2 où K désigne la courbure intrinsèque, S est la courbure scalaire de la variété et |A| est la norme de la seconde forme fondamentale de l'immersion. L'étude des surfaces à courbure moyenne constante stables permet de mieux comprendre les solutions des problèmes isopérimétriques.

   Dans R3 l'opérateur de stabilité devient L=-∆-4H2+2K. A. Ros et H. Rosenberg ont montré que l'on pouvait contrôler la taille d'une surface à courbure moyenne constante stable. Plus précisément, ils ont montré que si p est un point d'une surface à courbure moyenne constante H stable, la distance de p au bord de cette surface est majorée par π/H. L. Mazet a montré que l'on peut améliorer cette estimée et majorer la distance du point p au bord de la surface par π/2H. L'estimée est alors optimale.

   En collaboration avec B. Nelli (Universita di l'Aquila , Italie) et H. Rosenberg (Université Paris 7), L. Mazet souhaite déterminer une telle estimée pour les surfaces à courbure moyenne constante stables de H2xR. La difficulté par rapport à R3 est que l'opérateur de stabilité n'est plus un opérateur purement intrinsèque mais qu'il fait intervenir la position de la surface et donc la non-isotropie de l'espace H2xR.

   L. Hauswirth étudiera l'opérateur de stabilité sur les anneaux pour comprendre les relations entre la géométrie des courbes bordant des anneaux compacts de H2xR et le nombre de solutions de l'équation des surfaces minimales bordées par celle-ci.

8. Surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés Riemanniennes

   On connaît un résultat de type Bonnet-Myers pour les surfaces de courbure moyenne constante dans les variétés homogènes. Dans une variété M où il existe une constante c>0 telle que la courbure de Ricci est plus grande que c alors une géodésique minimisante a une longueur bornée par 2π c-1/2. Cela implique qu'il existe une constante R>0 tel que les boules géodésiques de rayon R dans M sont plongées et toutes les courbures sectionnelles sont bornées par une constante. Si S est une surface immergée de courbure moyenne H>C0, stable et complète (solution du problème isopérimétrique par exemple) alors le diamètre de S est borné et S doit être compacte, c'est topologiquement une sphère.

   Dans l'espace euclidien la constante C0=0, dans l'espace hyperbolique C0=1, dans H2xR C0=1/2. L. Hauswirth et F. Pacard s'intéressent au comportement des CMC quand la courbure H est assez grande.

   Les exemples d'hypersurfaces à grande courbure moyenne constante construits par F. Pacard et ses collaborateurs dans des variétés riemanniennes ne permettent pas encore d'avoir une image complète de la situation. En particulier, l'existence d'hypersurfaces de type Delaunay est toujours une question ouverte. Il serait intéressant de produire des exemples de suites de surfaces à courbure moyenne constante dans une variété de dimension 3 qui se concentrent le long de géodésiques brisées.

   Inversement, ces travaux tendent à montrer que les hypersurfaces à grande courbure moyenne constante ont une structure relativement rigide. Il serait intéressant de pouvoir caractériser les limites possibles de suites de telles hypersurfaces quand leur courbure moyenne tend vers l'infini. F. Pacard compte travailler sur ces problèmes.

9. Variétés pseudo-kähleriennes

   En collaboration avec B. Guilfoyle et H. Anciaux (Institute of Technology Tralee), P. Romon étudie une métrique semi-kählerienne définie naturellement sur les fibrés tangent ou cotangent d'une variété, différente de la métrique de Sasaki. Quand la base est une surface de Riemann, on s'intéresse aux surfaces lagrangiennes définie par la structure symplectique canonique du cotangent. Il s'attachera à caractériser celles qui satisfont une condition variationnelle intéressante (minimalité etc.) en lien avec la géométrie de la base.

10. Métriques extrémales en géométrie kählerienne

    F. Pacard souhaite donner une construction directe des métriques extrémales en géométrie kählerienne sur les éclatés en un nombre fini de points de variétés toriques. Dans ce cadre, la condition d'extrémalité se réduit à la résolution d'une équation complètement nonlinéaire (l'équation de Abreu) sur un polytope.

    En collaboration avec C. Arezzo (Université de Parme), F. Pacard souhaite poursuivre ses recherches sur les métriques extrémales sur des éclatés le long de sous variétés de variétés possédant déjà des métriques extrémales. L'étude de ces problèmes dans le cadre des variétés Sasakiennes est aussi envisagée.

11. Variétés d'Einstein asymptotiquement hyperboliques

    L. Mazzieri et F. Pacard souhaitent entreprendre la construction de variétés d'Einstein asymptotiquement hyperboliques via des sommes connexes le long de sous variétés du bord. Les résultats obtenus par L. Mazzieri pendant sa thèse (sur les sommes connexes le long de sous variétés de métriques à courbure scalaire constante) permettent d'envisager quelques espoirs dans cette direction.

12. Solutions singulières pour des problèmes géométriques

    En collaboration avec T. Rivière (ETH, Zurich), F. Pacard souhaite étudier l'existence d'applications harmoniques singulières entre M3, une variété riemannienne de dimension 3, et S2, la sphère unité. Une généralisation des cette thématique dans le cadre des connections de Yang-Mills est envisageable. En collaboration avec R. Mazzeo (Université de Stanford), F. Pacard compte terminer l'étude de l'existence de solutions d'équations elliptiques semilinéaires qui apparaissent en géométrie conforme, dont l'ensemble des singularités est stratifié.

    Notons enfin le recrutement en 2008 de J. Roth comme maître de conférences à l'UPEMLV, qui rejoindra l'équipe de géométrie. J. Roth est un jeune chercheur de talent ayant passé sa thèse en 2006 à Nancy et postdoc à Nice en 2007-2008. Il travaille en géométrie extrinsèque avec des techniques de géométrie intrinsèque (théorèmes de rigidité pour la sphère sous des hypothèses de pincement pour le rayon extrinsèque ou la première valeur propre du laplacien). Il s'intéresse aussi aux méthodes spinorielles pour obtenir des immersions isométriques minimales dans les espaces homogènes de dimension 3, qui concernent particulièrement les chercheurs de l'UMR. Il souhaite travailler sur les problèmes de représentation de Weierstrass des surfaces dans les espaces homogènes. Son arrivée représente pour l'équipe de géométrie un renforcement dans ses dominantes et en même temps une possibilité de diversification vers des méthode d'analyse spectrale et d'analyse sur les variétés.