Thèmes de recherche - projet 2010-2013

ANALYSE EN GRANDE DIMENSION : ASPECTS GEOMETRIQUES ET PROBABILISTES

1. Inégalités fonctionnelles, entropie et isopérimétrie

   Nathaël Gozlan aimerait poursuivre ses recherches sur les liens entre les grandes déviations et les inégalités fonctionnelles. L'objectif est de donner de nouvelles preuves (simples) de certains résultats, comme par exemple le théorème d'Otto-Villani, grâce à des techniques de grandes déviations.

   Des progrès importants ont été réalisés dans l'étude de l'isopérimétrie en dimension infinie par C. Roberto (en collaboration avec F. Barthe et P. Cattiaux). Les techniques utilisées s'appuient principalement sur une approche par semi-groupe via des inégalités fonctionnelles de type log-Sobolev.

   Nous souhaiterions aborder l'a priori épineux problème de l'isopérimétrie pour des mesures produits sur-gaussiennes. L'approche fonctionnelle que C. Roberto et ses collaborateurs ont développée aboutirait à l'étude de certains opérateurs non linéaires ouvrant la voie à de vastes perspectives. En lien se trouvent en effet l'étude de nouvelles inégalités fonctionnelles et leurs applications au contrôle du semi-groupe (non linéaire, à construire) associé.

   En outre, l'étude de certaines familles d'inégalités fonctionnelles mentionnées plus haut a amené C. Roberto (en collaboration avec F. Barthe et P. Cattiaux) à étudier et généraliser les inégalités de Hardy. C. Roberto souhaiterait poursuivre cette étude dans le cadre discret, en lien avec le chapitre mécanique statistique, dans l'étude de certaines inégalités coercitives qui contrôlent le temps de mélange de certains processus stochastiques, les plus simples étant les processus de vie et de mort sur les entiers.

2. Inégalités géométriques, fonctionnelles et convexité

   En utilisant des inégalités sur la mesure des dilatés d'ensembles par des probabilités s-concaves plus faibles que celles obtenues par M. Fradelizi, S. Bobkov a démontré que les probabilités s-concaves vérifient d'intéressantes inégalités de type Poincaré. Grâce aux améliorations obtenues, M. Fradelizi espère pouvoir améliorer aussi ces inégalités de type Poincaré.

   Les inégalités d'hypercontractivité de Nelson pour la mesure Gaussienne permettent de déduire des inégalités de Kahane-Khinchine pour les polynômes, utilisées par exemple par M. Ledoux pour déterminer la distribution de la plus grande valeur propre de matrices gaussiennes hermitiennes aléatoires. M. Fradelizi souhaite appliquer les méthodes de localisation pour généraliser ces inégalités au cas des mesures log-concaves par rapport à la gaussienne.

3. Mécanique statistique

   C. Roberto a entamé l'étude de systèmes de particules en interactions avec contraintes cinétiques. Ces systèmes ont été introduits dans les années 80 par les physiciens pour modéliser les transitions vitreuses. De nombreuses questions restent ouvertes, tant du point de vue de la physique que des mathématiques. Nous sommes intéressés à la résolution rigoureuse des questions mathématiques. Parmi celles-ci se trouvent notamment l'étude de la convergence des systèmes hors équilibre, l'estimation des « spin-spin correlations », et l'étude d'asymptotique précise près de certaines valeurs critiques.

4. Valeurs singulières des matrices aléatoires

   L'un des sujets de la théorie des matrices aléatoires est l'étude asymptotique du spectre des matrices de covariance empirique. Dans le cas classique les entrées initiales sont i.i.d. L'étude du régime local autour de la plus petite valeur propre soulève un grand nombre de questions; la concentration et la fluctuation sont encore des questions ouvertes même dans le cas simple et intéressant des matrices de Bernoulli (plus ou moins 1). Les ordres de grandeur asymptotiques sont connus depuis peu (M. Rudelson et R. Vershynin, T. Tao et V. Vu) mais on conjecture qu'il y a un principe universel sous-jacent.

   Les problèmes d'échantillonnage de vecteurs n'entrent plus dans le cadre classique mais les lignes restent indépendantes. D'un certain point de vue de la géométrie asymptotique, on s'intéresse au cas où les vecteurs sont à densité log-concave. Dans ce cas, toutes les grandes questions se rapportant au régime local sont ouvertes y compris le problème en général plus simple sur le comportement de la plus grande valeur propre, c'est-à-dire la norme de la matrice. Même son ordre de grandeur est un problème ouvert. Les tentatives utilisant la méthode des moments de Wigner soulèvent des questions sur les propriétés des mesures log-concaves, inégalités de Poincaré, phénomène d'hyper-concentration…En ce qui concerne le régime global, A. Pajor et L. Pastur ont montré un principe universel identique au cas i.i.d., mais on ne sait pas s'il y a un théorème central limite associé.

5. Reconstruction de signaux

   La reconstruction de signaux est un sujet de statistique très actif après les percées de Donoho et Candes et les découvertes sur le compressed sensing de E. Candes et T. Tao. Dans un article fondateur, E. Candes et T. Tao (2005) ont déterminé des classes naturelles fortement compactes de vecteurs qui peuvent être reconstruit à partir de matrices de Fourier discrète partielles aléatoires et dégage un principe d'incertitude uniforme (UUP). La question est alors de déterminer les relations entre n et k pour que de telles matrices vérifient un principe UUP. Un exemple de J. Bourgain donne une borne mais on ne sait pas si cette borne est optimale. L'amélioration de ces estimations soulève un ensemble de questions très intéressantes.